논현동 생활권 고3 수학과외에서 다룬 수열의 수렴·발산 판단
논현동에서 통학하는 고3 학생은 강남구 내 여러 학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 조정하며 수열 단원을 복습했다. 개념을 모르는 것이 아니라 문제의 조건이 바뀌었을 때 수렴 기준을 다시 세우는 과정에서 실수가 반복되었다.
경계값을 다시 확인하지 않아 생긴 오답
학생에게 다음 수열의 수렴 조건을 물었다.
an=rn
학생은 먼저 “|r|<1이면 an→0”이라고 정확히 적었다. 그러나 질문이 “수열이 발산하도록 하는 r의 범위”로 바뀌자, 앞에서 적은 범위의 경계를 그대로 옮겨 다음과 같이 답했다.
an이 수렴하는 조건은 |r|<1이므로 발산하는 조건은 |r|≤1이다.
이 식은 잘못된 답이다. r=1이면 an=1로 수렴하고, r=−1이면 an=(−1)n으로 항이 1과 −1 사이에서 진동하므로 발산한다. 따라서 발산 조건은 r≤−1 또는 r>1이다. r=1을 발산 범위에 포함한 것이 핵심 오류다.
틀린 줄부터 조건을 다시 세운 풀이
- 틀린 줄 표시: 발산 조건을 |r|≤1이라고 쓴 부분에 밑줄을 긋는다.
- 변수 관계 확인: |r|<1이면 rn→0이고, |r|>1이면 항의 절댓값이 커져 발산한다.
- 경계값 대입: r=1을 넣으면 an=1이므로 수렴, r=−1을 넣으면 an=(−1)n이므로 발산한다.
- 식 수정: 수렴 조건은 −1<r≤1, 발산 조건은 r≤−1 또는 r>1로 다시 작성한다.
학생은 답안 여백에 수렴 허용 범위: −1<r≤1을 네모로 표시하고, 경계 −1과 1을 직접 대입했다. 단순히 부등호를 뒤집지 않고 경계에서 실제 항의 형태를 확인하자 질문의 방향이 바뀌어도 기준을 잃지 않았다.
부호 진동만 보고 발산이라고 한 재풀이
다음 재풀이에서는
an=(−1)n⁄n
을 보고 학생이 “부호가 번갈아 바뀌므로 발산한다”고 적었다. 이 판단 역시 오답이다. 수렴 여부는 부호 변화만으로 결정하지 않고 항 전체가 하나의 값에 가까워지는지를 확인해야 한다.
실제로
|an|=1/n→0
이므로 −1/n≤an≤1/n이고, 샌드위치 정리에 따라
limn→∞(−1)n/n=0
이다. 부호는 진동하지만 진동 폭이 0으로 줄어들기 때문에 수열은 0으로 수렴한다. 학생은 틀린 문장에 선을 긋고, 절댓값 비교와 극한 계산을 한 줄씩 다시 적은 뒤 n=10, 100을 대입하여 항의 크기가 각각 0.1, 0.01로 작아지는 것도 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
마지막에는 같은 문제를 반복하지 않고 다음 수열을 제시했다.
bn=(−1)n(n+1)/(2n+3)
이번에는 분수 부분이
(n+1)/(2n+3)→1/2
이므로 짝수 번째 항은 1/2로, 홀수 번째 항은 −1/2로 가까워진다. 따라서 두 부분수열의 극한이 다르므로 bn은 발산한다. 학생은 단순히 “부호가 있으므로 발산”이라고 쓰지 않고 짝수·홀수 항을 분리해 각각의 극한을 비교했다.
이 과정을 통해 수렴·발산 문제에서는 부호, 경계, 절댓값, 부분수열을 구분하고 바뀐 질문의 조건을 처음부터 다시 계산해야 한다는 점을 확인했다.