개포동고2수학과외

개포동고2수학과외, 0·음의 지수에서 오답이 시작된 줄 찾기

개포동의 개포고등학교, 경기여자고등학교 등 학교와 개포4단지·개포5단지 주거지 사이의 이동 시간은 학생마다 다르다. 그래서 짧은 풀이 시간에도 계산 결과만 고치는 것이 아니라, 지수법칙을 잘못 적용한 줄을 정확히 찾아야 한다.

0⁰=1이라고 적은 순간 조건이 사라졌다

다음 식에서 밑의 조건에 따라 값을 판단해 보자.

x⁰

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

x⁰ = 1이므로 x=0일 때도 0⁰=1

하지만 a⁰=1이라는 지수법칙은 밑 a가 0이 아닐 때 적용된다. 따라서

x⁰ = 1   (x≠0)

이고, 0⁰은 이 지수법칙으로 1이라고 정할 수 없다. 계산 마지막에 1을 고쳐 쓰는 것만으로는, 오류가 시작된 “밑이 0인 경우까지 법칙을 적용한 줄”이 남아 있는 셈이다.

음의 지수도 밑이 0이면 정의되지 않는다

음의 지수는 다음처럼 분수로 바꾸어 해석한다.

a^-n = ¹⁄_aⁿ   (a≠0)

예를 들어

2^-3 = ¹⁄_2³ = ¹⁄₈

이지만 0^-3은 ¹⁄_0³이 되어 정의되지 않는다. 학생이 0^-3=0이라고 적었다면, 음의 지수를 단순히 부호가 붙은 지수로 처리한 것이 오류의 출발점이다.

오답 줄부터 이어서 고치는 훈련

다음 문제를 처음부터 다시 풀기보다, 밑의 조건을 확인하지 않은 줄에서 풀이를 멈춘다.

문제: x=0 또는 x=2일 때 x⁰과 x^-2의 정의 가능 여부를 판단하시오.

먼저 밑을 확인하면 다음과 같다.

x=0: 0⁰과 0^-2은 정의되지 않음

x=2: 2⁰=1, 2^-2=¹⁄₄

답안에는 계산 전에 “0지수·음의 지수는 밑이 0이 아닌 경우”라고 적고, 밑이 0인 후보는 마지막 값으로 고치지 말고 그 줄에서 제외해야 한다.

불필요한 조건이 붙은 식에서 확인하기

검증 문제는 다음과 같다.

y=−2 또는 y=0이고, y⁰과 y⁻¹의 값을 비교하시오. 단, y는 정수이다.

여기서 “정수”라는 정보보다 먼저 필요한 것은 밑이 0인지 여부다.

y=−2이면 y⁰=1, y⁻¹=−¹⁄₂이다. 반면 y=0이면 0⁰과 0⁻¹ 모두 정의되지 않는다.

새 조건에서도 밑을 먼저 분류하고, 정의되지 않는 후보를 답에서 제거했다면 0·음의 지수법칙을 계산 줄부터 바르게 적용한 것이다.