개포동고3수학과외

개포동 고3수학과외, 극한을 계산하기 전 첫 오답 줄 찾기

개포동에는 개포고등학교, 경기여자고등학교, 수도전기공업고등학교, 국립국악고등학교가 있고, 같은 강남구의 숙명여자고등학교는 별도 참고 학교로 볼 수 있다. 개포4단지·5단지와 6단지처럼 생활권과 학교까지의 이동 시간이 다른 만큼, 짧은 시간에 재풀이하는 학생에게는 계산보다 수렴 조건을 먼저 확인하는 습관이 중요하다.

몇 항의 값만 보고 극한을 확정한 오답

학생은 다음 수열의 극한을 구하면서 처음 몇 항만 계산했다.

a_n = 1/n

a₁=1, a₂=1/2, a₃=1/3을 적은 뒤, “값이 작아지므로 극한은 0”이라고 결론 냈다. 정답 자체는 0이지만, 몇 항의 계산만으로 확정한 근거가 부족하다. 특히 다음 문제에서 같은 방식으로 부호만 바꾸면 오답이 발생한다.

b_n = (−1)ⁿ

학생의 잘못된 판단은 다음과 같다.

b₁=−1, b₂=1, b₃=−1이므로 마지막 부호를 바꾸면 수렴값은 0이다.

이 식은 틀렸다. b_n은 홀수 번째 항에서 −1, 짝수 번째 항에서 1이므로 하나의 값으로 가까워지지 않는다. 따라서 lim_n→∞b_n은 존재하지 않아 발산한다.

처음 어긋난 줄을 표시하는 재풀이

학생은 오답 줄에 표시를 하고 마지막 부호만 수정하지 않는다.

• 틀린 줄 표시: “부호를 바꾸면 0에 가까워진다.”
• 조건 확인: 수렴하려면 모든 충분히 큰 n에 대해 항이 하나의 값에 가까워져야 한다.
• 변수 관계 확인: n이 홀수이면 b_n=−1, n이 짝수이면 b_n=1이다.
• 식 수정: b_2k=1, b_2k−1=−1로 나누어 적는다.
• 검산: 짝수 부분수열의 극한은 1, 홀수 부분수열의 극한은 −1이므로 전체 수열은 수렴하지 않는다.

반대로 a_n=1/n은 n이 커질수록 분모가 제한 없이 커진다. 임의의 ε>0에 대해 n>1/ε이면

|a_n−0|=1/n<ε

이므로 lim_n→∞1/n=0이다. 표에 a₁, a₂, a₃의 값만 적는 것과 일반항의 관계를 설명하는 것은 다르다는 점도 함께 확인한다.

극한 연산의 조건까지 점검하기

두 수열의 극한 연산은 각 극한이 실제로 존재할 때 사용할 수 있다. 예를 들어

u_n=2+1/n,   v_n=3−2/n

이면 u_n→2, v_n→3이므로

lim(u_n+v_n)=2+3=5

이다. 그러나 v_n=(−1)ⁿ처럼 수렴하지 않는 수열에 대해서는 단순히 “항별 극한을 더한다”고 쓸 수 없다. 분모가 있는 식은 분모의 극한이 0인지도 확인해야 한다.

또한 등비급수

1+r+r²+⋯

는 −1<r<1에서만 수렴하며 합은 1/(1−r)이다. r=1에서는 항이 0으로 가지 않고, r=−1에서는 부분합이 1과 0을 반복하므로 두 끝점은 포함되지 않는다. 끝점 옆의 포함 여부를 표시할 때는 표의 조건과 식의 조건이 같은지 함께 대조한다.

조건을 바꾼 독립 검증

직전 예제를 보지 않고 다음 문제를 새로 풀어 수렴 판단을 확인한다.

c_n = 1/(n+2),   d_n = (−1)ⁿ+1

c_n은 0으로 수렴한다. d_n은 짝수 n에서 2, 홀수 n에서 0이므로 수렴하지 않는다. 따라서 d_n의 극한을 1이라고 정하거나, 몇 항의 평균으로 극한을 정하는 것은 잘못이다.

학생은 새 숫자와 식에서도 먼저 홀수·짝수 항을 나누고, 부분수열의 극한을 비교한 뒤 결론을 적는다. 이 과정을 통해 마지막 부호만 바꾸던 풀이에서 벗어나 수렴 정의와 변수 조건을 근거로 오답을 수정할 수 있다.