과천외국어고등학교 고1수학과외에서 확인한 함수 풀이의 최초 오류
과천외국어고등학교 고1수학과외에서 살펴본 한 고1 학생은 함수의 식을 대입해 계산하는 문제는 해결할 수 있었다. 그러나 문장형 문제나 문제집 심화문제로 넘어가면 입력과 출력이 어떤 대응을 이루는지 설명하기 전에 계산식부터 세우는 풀이가 먼저 나왔다.
예를 들어 관계가 제시된 문제에서 입력값을 식에 대입해 출력값을 구한 뒤, 같은 입력에 출력이 두 개 생기는지 확인하지 않고 그 관계를 함수라고 판단했다. 계산한 함수값 자체는 맞았지만, 함수인지 판단하는 핵심 조건을 식의 계산 결과와 연결하지 못한 것이다. 이때 오답의 최초 지점은 계산 단계가 아니라 조건을 읽고 입력과 출력의 대응관계를 해석하는 단계였다.
식 계산은 가능하지만 대응관계 설명이 끊기는 장면
현재는 함수의 식이 주어지면 값을 대입하고 계산하는 과정은 가능하다. 반면 서술형에서 입력과 출력의 의미를 문제 상황에 맞게 구분하거나, 하나의 입력에 출력이 몇 개 연결되는지 판단하는 과정에서는 아직 흔들림이 나타난다.
처음에는 관계에 포함된 수를 식에 넣어 결과를 계산했다. 이후 계산된 값을 근거로 함수 여부를 판단했지만, 같은 입력이 반복될 때 출력이 하나인지 둘 이상인지 따로 표시하지 않았다. 그래서 같은 입력에 출력이 둘 생기는 관계도 함수라고 그대로 판단하는 결론으로 이어졌다.
입력값을 계산식에 넣는 것과 함수의 대응관계를 판단하는 것은 같은 단계가 아니다.
입력과 출력을 표로 나누어 확인하기
수정할 때는 먼저 문제의 조건에서 입력과 출력을 각각 표시하게 했다. 관계에 등장하는 값을 입력과 출력의 두 열로 나누어 표에 적고, 계산보다 앞서 하나의 입력에 연결된 출력의 개수를 확인하도록 풀이순서를 바꾸었다.
- 무엇을 입력으로 볼 것인지 조건에서 표시한다.
- 입력에 대응하는 출력을 표로 옮긴다.
- 같은 입력에 출력이 하나만 연결되는지 확인한다.
- 그 뒤에 필요한 함수값을 계산한다.
- 계산 결과와 함수의 정의가 서로 맞는지 다시 대조한다.
같은 입력에 출력이 둘 생기는 관계에서는 식을 계산하기 전에 이미 함수 조건에 맞지 않는 이유를 말하게 했다. 반대로 각 입력에 출력이 하나씩만 연결되는 관계에서는 표를 근거로 함수라고 설명한 뒤 값을 계산하게 했다. 이렇게 하면서 계산식이 맞다는 사실만으로 함수 여부를 결정하지 않도록 풀이의 최초 판단 지점을 분리했다.
심화문제에서 조건을 바꾸어 재적용하기
다음 문제에서는 입력과 출력의 위치를 바꾸거나, 같은 입력에 연결되는 출력을 추가한 조건을 제시했다. 처음 사용한 풀이순서를 반복하지 않도록 숫자를 계산하기 전에 표를 만들고, 입력 하나에 출력이 몇 개인지 먼저 말하게 했다.
새로운 관계에서는 계산 가능한 값이 있어도 함수 조건을 만족하는지 별도로 확인했다. 같은 입력에 출력이 하나만 남은 경우에는 표의 대응을 근거로 함수라고 설명했고, 출력이 두 개로 나뉜 경우에는 계산 결과를 제시하기 전에 함수가 될 수 없다고 판단했다. 현재는 기본적인 함수값 계산에서 벗어나 입력과 출력의 관계를 먼저 확인하려는 행동이 나타나고 있으며, 조건이 복잡해질 때도 최초 오류가 계산인지 조건 해석인지 구분하는 연습을 이어가는 단계다.
과천외국어고등학교 고1수학과외에서는 이처럼 식을 빠르게 계산하는 데서 멈추지 않고, 입력과 출력의 대응관계를 표와 말로 확인한 뒤 계산과 검산으로 이어지는 풀이를 적용하고 있다.