합성함수의 순서를 식과 조건으로 함께 관리하기
이천양정여자고등학교 고2수학과외에서는 합성함수와 역함수를 다룰 때 계산 결과만 맞히는 것보다 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력이 되는 과정을 정확히 기록하는 데 초점을 두고 있다. 학교 프린트 문제에서 기본적인 합성함수 계산은 가능하지만, 식이 길어지면 눈에 먼저 들어오는 바깥 식부터 계산해 실제 적용 순서를 거꾸로 진행하는 경우가 있었다.
예를 들어 f(x)=2x-1, g(x)=x²일 때 (g∘f)(x)를 구하면서 먼저 g의 제곱식을 적용한 뒤 f를 대입하면 안 된다. 먼저 x가 f를 거쳐 2x-1이 되고, 그 출력이 g의 입력이 되어 (2x-1)²가 된다는 흐름을 서술형 답안에 남겨야 한다. 반대로 (f∘g)(x)는 x가 g를 거쳐 x²가 된 뒤 f에 입력되므로 2x²-1이 된다. 두 식의 차이를 단순 암기가 아니라 ‘입력 → 안쪽 함수 → 출력 → 바깥 함수’의 단계로 표시하게 했다.
역함수에서 발생한 최초 오류
실제 풀이에서는 역함수 식을 만드는 과정까지는 진행했지만, 역함수가 모든 구간에서 성립하는지 확인하지 않았다. f(x)=x²의 식을 변형해 f⁻¹(x)=√x라고 적은 뒤, 원래 함수의 정의역을 제한하지 않은 채 답안을 마무리한 것이다. x²은 전체 실수에서 일대일 대응이 아니므로 역함수가 존재하려면 정의역을 x≥0 또는 x≤0처럼 제한해야 한다. 이 조건을 빠뜨리면서 실제로는 역함수가 성립하지 않는 구간까지 답에 포함했다.
최초 오류는 제곱근 계산이 아니라 역함수 식을 만들기 전에 일대일 대응 여부를 판단하지 않은 데서 시작되었다. 합성함수의 안쪽 출력과 바깥 함수의 입력을 추적하는 습관이 역함수의 정의역·치역 확인으로 이어지지 못한 것이 핵심이었다. 이천양정여자고등학교 고2수학과외 학습에서는 식을 구한 뒤 바로 답을 확정하지 않고, 원래 함수의 정의역과 치역을 표로 나누어 적게 했다.
정의역과 치역을 표로 확인하는 수정 과정
- 원래 함수의 정의역을 먼저 기록한다.
- 그 정의역에서 함수가 일대일인지 증가·감소 또는 그래프로 확인한다.
- 함수의 치역을 구한 뒤 역함수의 정의역으로 옮겨 적는다.
- 역함수 식을 만든 후 원래 함수와 합성해 항등식이 되는지 확인한다.
- 경계값과 제한조건을 포함해 서술형 결론을 완성한다.
이후에는 f(x)=x²-4를 x≥0에서 정의한 경우처럼 조건을 붙인 문제를 사용했다. 먼저 정의역을 표에 적고 치역을 [-4, ∞)로 정리한 다음, f⁻¹(x)=√(x+4)를 구하게 했다. 마지막에는 f(f⁻¹(x))=x와 f⁻¹(f(x))=x가 각각 어떤 정의역에서 성립하는지 구분하도록 했다. 이렇게 하자 역함수 식만 적고 조건을 생략하던 답안이 줄어들었다.
조건이 바뀐 문제에 다시 적용하기
숫자와 함수의 모양을 바꾼 문제에서는 f(x)=3x+2, g(x)=1/(x-1)을 제시하고 g∘f와 f∘g를 각각 구하게 했다. 풀이 시작 전에 안쪽 함수와 바깥 함수를 괄호로 표시하고, g의 입력에서 x=1이 제외된다는 조건을 합성 결과에도 반영하게 했다. 이어서 등비관계가 포함된 문제에서는 공비의 부호가 바뀌는지, 항의 절댓값만 일정한 비율로 변하는지까지 표로 확인하게 했다.
제한시간을 줄인 재풀이에서도 안쪽 함수의 출력, 바깥 함수의 입력, 정의역과 경계조건을 먼저 표시하는지 확인했다. 이제는 합성함수의 식을 계산한 뒤 역함수의 정의역을 따로 점검하고, 조건이 바뀌면 일대일 대응과 치역을 다시 분류하는 방식으로 풀이를 이어 간다. 계산 속도보다 풀이 선택의 근거와 조건 검증을 남기는 방향으로 학습 행동이 바뀌고 있다.