함현고등학교 고1 수학과외에서 다룬 서술형 풀이의 첫 판단
함현고등학교고1수학과외에서는 식을 빠르게 계산하는 것보다 문제의 조건을 먼저 분리하는 연습을 진행했다. 중학교 때처럼 보이는 정보를 모두 계산에 넣으면 식이 길어지고, 맞힌 문제에서도 왜 그 조건을 사용했는지 설명하기 어려워지기 때문이다. 이 학생은 명제의 참·거짓 자체는 판단할 수 있었지만, 가정과 결론을 나누어 근거를 쓰는 과정에서는 풀이 방향이 흔들렸다.
가정과 결론을 나누지 않아 생긴 반례
학교 프린트의 명제 서술형을 풀 때 학생은 명제의 가정과 결론을 먼저 표시하지 않고 곧바로 참·거짓부터 판단했다. 그 결과 결론을 반박해야 하는 상황에서 가정과 결론을 뒤바꾸었고, 반례를 하나 제시했지만 실제 명제를 반박하지 못했다. 답은 참 또는 거짓으로 적었지만, 어떤 조건을 검증했는지 설명하는 문장은 이어지지 않았다.
풀이를 다시 따라가 보니 첫 단계에서 문제의 조건을 전부 계산하려 했고, 다음 단계에서 무엇을 확인해야 하는지 정하지 않은 채 반례를 찾았다. 명제의 가정이 성립하는 경우에 결론이 성립하는지를 살펴야 했지만, 가정에 해당하지 않는 사례를 가져와 판단한 것이 최초 오류였다.
명제의 가정: 먼저 성립한다고 주어진 조건
명제의 결론: 가정이 성립할 때 확인해야 할 주장
검증할 것: 가정을 만족하는 사례에서 결론이 거짓이 되는지
도형의 이동과 원소 표현을 연결하기
도형의 이동에서는 원소를 나열하는 방식과 조건으로 표현하는 방식을 서로 바꾸는 과정에서도 같은 문제가 나타났다. 학생은 나열된 원소를 보고 결과를 옮겨 적는 것은 가능했지만, 왜 그 원소들이 해당 조건을 만족하는지 설명하는 단계에서는 필요한 정보와 보조 정보를 구분하지 못했다.
그래서 먼저 구할 값을 적고, 풀이에 필요한 최소 미지수만 설정하도록 했다. 첫 식을 세운 뒤에는 그 식을 선택한 이유를 짧게 말하게 했으며, 사용하지 않은 정보가 결과에 영향을 주는지 확인했다. 나열된 원소를 조건으로 표현할 때는 각 원소가 조건을 만족하는지 대조하고, 반대로 조건식에서 원소를 나열할 때는 누락이나 중복이 없는지 점검했다.
계산 전 두 단계의 목적 세우기
이제 서술형을 시작할 때 ‘무엇이 주어졌는가’와 ‘무엇을 검증해야 하는가’를 먼저 적는다. 그다음 가정과 결론에 밑줄을 달고, 결론이 거짓이 되는 반례를 찾을 때 가정을 만족하는지 확인한다. 계산이 필요한 경우에도 첫 단계의 목적과 다음 단계의 목적을 짧게 세워 불필요한 조건을 식에 넣지 않도록 했다.
새 문제에서 명제의 참·거짓을 맞힌 뒤에도 첫 식을 선택한 이유를 설명하게 했다. 숫자와 조건을 바꾼 문제에서는 가정을 만족하지 않는 사례를 반례로 쓰지 않았고, 나열 방식과 조건 표현을 서로 변환한 뒤 각 원소가 조건에 맞는지 다시 확인했다. 함현고등학교 고1수학과외에서 확인한 변화는 계산량이 줄었다는 데 그치지 않고, 어떤 조건을 사용해 결론을 검증했는지를 풀이 안에서 드러내기 시작했다는 점이다.