새솔고등학교 수학과외에서 먼저 살피는 계산의 방향
처음 보는 함수 변형문제를 풀 때 계산부터 시작하면 식의 모양에 끌려가기 쉽다. 실제로 한 학생은 문제집 해설의 짧은 풀이를 기억해 두었다가 조건이 달라진 문제에도 같은 약분을 적용했다. 식 안의 항이 같은 인수로 묶이는지 확인하지 않은 채 약분했기 때문에 계산 과정은 매끄러워 보였지만, 함수값의 부호와 크기가 문제의 조건과 맞지 않는 결과가 나왔다.
이때 필요한 것은 약분 방법을 더 많이 외우는 것이 아니다. 계산 전에 답이 양수인지 음수인지, 대략 어느 정도 크기인지, 가능한 값의 개수가 몇 개인지를 먼저 예상해야 한다. 예상과 실제 계산 결과가 다르면 마지막 답만 고치는 것이 아니라 약분을 시작한 지점으로 돌아가 식의 구조를 다시 확인한다.
조건이 바뀌면 풀이 순서도 다시 세워야 한다
새솔동에서 학교생활과 서술형 준비를 함께 진행하는 학생에게는 처음 보는 문제를 만났을 때의 읽기 순서가 중요하다. 함수 관계를 계산하는 문제라도 곧바로 식을 변형하지 않고, 먼저 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 정한다. 입력값의 범위인지, 부호의 변화인지, 특정 조건의 충족 여부인지 기준을 적은 뒤 각 경우가 겹치거나 빠지지 않는지 확인한다.
예를 들어 두 조건에 따라 함수값을 나누어 구하는 문제라면 다음과 같이 풀이의 뼈대를 먼저 남긴다.
- 구해야 할 함수값이나 미지수를 적는다.
- 경우를 나누는 기준을 표시한다.
- 각 경우에 사용한 조건을 따로 기록한다.
- 계산 전 부호·크기·가능한 답의 개수를 예상한다.
- 계산 후 원래 조건과 결과를 대조한다.
이 과정을 거치면 해설의 짧은 풀이를 그대로 복사하는 대신, 왜 그 식 변형이 가능한지 설명할 수 있다. 서술형에서는 약분한 결과만 쓰는 것이 아니라 약분 전후의 식과 조건을 연결해 남기는 것이 핵심이다.
미완료 오답을 남긴 채 새 교재로 넘어가는 문제
현재 학습 상태를 보면 문제에 필요한 정보를 그림이나 표로 옮겼을 때 정확도가 높다. 다만 스스로 그 방법을 선택하는 빈도는 낮고, 새 변형문제를 시작하면 기존 교재의 미완료 오답을 남겨 둔 채 새 교재를 처음부터 진행하는 모습이 나타난다. 새로운 문제에서 경우를 나눌 기준을 먼저 세우라는 점을 알고 있어도, 처음 사용한 처리순서를 바꾸지 못하는 것이다.
따라서 오답을 다시 볼 때 정답 풀이 전체를 베껴 쓰지 않는다. 해설을 가린 상태에서 최초의 오류 지점을 표시한다. 약분하기 전 식에서 조건을 확인했는지, 경우의 기준을 세웠는지, 예상한 부호와 실제 결과가 언제 달라졌는지를 짚는다. 그 뒤 숫자나 조건을 조금 바꾼 변형문제를 바로 이어서 풀어 같은 판단을 다시 적용한다.
계산 결과를 스스로 걸러내는 연습
새솔고등학교 수학과외의 학습 과정에서는 한 문제를 맞히는 것보다 이상한 결과를 발견하는 행동을 확인한다. 계산 전에는 답의 범위와 형태를 짧게 적고, 계산 후에는 함수 관계와 표 또는 그림에 그 결과를 다시 대조한다. 가능한 값이 두 개여야 하는데 하나만 나왔다면 경우가 누락되었는지 살피고, 예상과 반대 부호가 나오면 식 변형이나 조건 적용 순서를 되돌아본다.
이후에는 새 문제를 시작하기 전에 미완료 오답에서 사용한 기준을 한 줄로 먼저 떠올린다. 조건을 나눌 기준을 적고, 사용한 조건에 표시를 남긴 뒤 계산을 진행하는 방식이다. 다음 재풀이에서는 해설의 약분을 그대로 재현하지 않고, 약분 가능한 인수인지 확인한 뒤 결과의 부호와 크기를 점검했다. 서술형 답안에도 경우의 기준과 중간 식이 남으면서, 계산 결과가 이상할 때 단순 계산실수라고 넘기지 않고 어느 판단에서 풀이가 끊겼는지 설명할 수 있게 된다.