교하고등학교 수학과외

미지수 세 개를 세운 뒤 풀이가 멈춘 순간

교과서 기본문제에서는 식과 답을 빠르게 적어 내던 학생이 변형문제를 만나 풀이를 처음부터 다시 시작한 장면이 있었다. 문제의 조건을 읽고 미지수를 세 개 설정했지만, 실제로 세울 수 있는 식은 두 개뿐이라는 사실을 뒤늦게 알아차렸기 때문이다. 식을 계산하는 과정의 오류라기보다, 경우를 나누기 전에 무엇을 기준으로 분류할지 정하지 않은 채 풀이를 시작한 데서 생긴 막힘이었다.

이런 유형에서는 미지수의 개수를 늘리는 것이 곧 풀이의 정교함을 뜻하지 않는다. 먼저 문제에서 달라지는 상황을 찾아야 한다. 예를 들어 어떤 값이 양수인지 음수인지, 두 대상의 순서가 바뀌는지, 특정 조건을 만족하는 경우와 그렇지 않은 경우로 나뉘는지를 표시한 뒤, 각 경우에 필요한 미지수만 정한다. 경우가 나뉘지 않는 조건까지 별도의 미지수로 두면 식의 수가 부족해지고, 반대로 하나의 경우를 빠뜨리면 답의 범위가 좁아진다.

중간 근거를 머릿속에서 꺼내어 적기

현재 학생은 학교 프린트의 기본문제는 해결할 수 있다. 다만 서술형 답안에서 식과 최종 답은 남기면서도, 왜 그 식을 세웠는지와 다음 단계로 어떻게 넘어갔는지는 머릿속으로 처리하는 경향이 있다. 문제 형식이 익숙할 때에는 이 방식이 통하지만, 조건의 표현이나 숫자가 바뀌면 처음 적용한 순서를 그대로 반복하다가 누락된 경우를 발견하지 못한다.

따라서 답안을 길게 쓰는 것보다 풀이의 분기점을 기록하는 것이 중요하다. ‘경우를 나누는 기준’, ‘이 경우에 포함되는 조건’, ‘세운 식이 나타내는 관계’를 짧은 문장으로 붙이면 계산 이전의 판단이 드러난다. 경우가 두 개라면 각각의 조건을 한 줄씩 적고, 두 경우가 겹치지 않는지와 빠진 경우가 없는지를 확인해야 한다.

경우를 나누기 전에는 기준을 먼저 적고, 계산을 마친 뒤에는 중복과 누락을 확인한다.

반례로 경우의 경계를 점검하는 방법

경우를 나눈 뒤에는 각 경우를 대표하는 값을 하나씩 대입해 보는 방식이 효과적이다. 첫 번째 경우에만 해당해야 하는 값을 넣었는데 두 번째 식도 동시에 성립한다면 분류 기준이 겹친 것이다. 반대로 문제의 조건을 만족하는 값인데 어느 경우에도 들어가지 않는다면 누락이 생긴 것이다.

이때 반례 확인은 답을 다시 계산하는 절차가 아니다. 자신이 세운 분류가 문제 전체를 덮는지 시험하는 과정이다. 예를 들어 ‘두 값의 크기가 같은 경우’와 ‘큰 경우’로 나눴다면, 같은 경우의 경계값을 따로 대입해야 한다. 부등호의 방향을 잘못 정했거나 경계값을 어느 쪽에 포함할지 정하지 않은 오류를 계산 전에 발견할 수 있다.