교하고등학교 고2 수학과외에서 조건의 방향을 바로 세우는 훈련
동패동과 연결해 학습하는 교하고등학교 고2 수학과외에서는 교과서 심화문제를 풀 때 문장을 읽은 순서와 수학적 관계의 방향이 항상 같지 않다는 점을 먼저 확인했다. 특히 수열의 일반항과 삼각함수의 좌표관계를 함께 해석하는 문제에서는 원소가 어느 집합에 포함되는지, 안쪽 함수의 출력이 다음 함수의 입력으로 어떻게 들어가는지를 단계별로 구분해야 했다.
현재 이 학생은 집합의 기본적인 포함관계와 함수의 합성 순서는 알고 있다. 그러나 조건이 길어지면 문장에 먼저 등장한 집합을 왼쪽에 놓는 경향이 남아 있다. 예를 들어 ‘A의 모든 원소가 B에 속한다’는 조건을 읽고도 A⊂B가 아니라 B⊂A로 표시했다. 로그함수나 합성함수 조건에서도 안쪽 함수의 결과를 바깥 함수의 입력으로 넘겨야 하는데, 반대로 식을 따라가며 포함관계의 방향까지 함께 뒤집는 모습이 나타났다.
문장 순서 때문에 명제의 역을 같은 조건으로 판단한 장면
교과서 심화문제에서는 어떤 조건을 만족하는 원소들의 집합을 그림과 기호로 나타낸 뒤, 그 조건에서 도출되는 명제가 참인지 판단해야 했다. 학생은 원명제와 역을 구분하지 않고 원명제가 참이면 역도 참이라고 적었다. 풀이 과정에서 ‘P이면 Q이다’를 확인한 뒤 ‘Q이면 P이다’도 같은 관계라고 보았지만, 실제로는 Q에만 해당하고 P에는 해당하지 않는 값을 생각하지 않았다.
이후 간단한 반례를 넣자 오류의 최초 지점이 드러났다. P를 ‘어떤 원소가 작은 집합 A에 속한다’, Q를 ‘그 원소가 큰 집합 B에 속한다’로 두면 A⊂B일 때 P이면 Q는 성립한다. 하지만 B에 속하는 모든 원소가 A에 속하는 것은 아니므로 Q이면 P는 성립하지 않는다. 학생은 계산을 잘못한 것이 아니라 포함관계의 방향을 문장 배열에 맞춰 바꾼 것이 문제였다.
원명제·역·대우를 나누어 검증하기
수정할 때는 기존 풀이를 다시 베껴 쓰지 않고 노트를 세 칸으로 나누어 원명제, 역, 대우를 각각 적었다. 원명제에는 ‘P이면 Q’, 역에는 ‘Q이면 P’, 대우에는 ‘Q가 아니면 P가 아니다’를 배치한 뒤, 집합 그림에서 실제로 어느 방향의 화살표가 그려지는지 확인했다. 포함관계는 문장 속 명사의 순서가 아니라 원소가 이동하는 방향으로 판단하도록 했다.
또한 각 명제 옆에 간단한 반례를 직접 넣었다. A에만 속하는 원소, B에만 속하는 원소를 나누어 표시하고 역이 거짓이 되는 이유를 그림과 기호로 동시에 확인했다. 수열의 일반항이나 삼각함수 좌표가 조건에 포함된 경우에도 먼저 좌표가 어느 집합의 원소인지 적고, 그다음 일반항 또는 함수값이 다음 조건의 입력으로 들어가는 순서를 화살표로 연결했다.
출력값을 먼저 구한 뒤 그 값이 다음 함수의 입력인지 확인하고, 포함관계는 반드시 원소가 향하는 집합을 기준으로 표시한다.
다음 날에는 표시 없이 같은 조건을 다시 읽고 첫 번째 기호를 어떻게 세우는지 확인했다. 이어 집합의 이름과 원소 조건을 바꾼 문제, 함수의 안쪽과 바깥쪽 표현을 바꾼 문제를 적용했다. 이때 먼저 원명제와 역을 분리하고, 함수값의 이동 순서를 따라간 뒤, 마지막에 반례를 대입하는 풀이로 달라졌다면 교하고등학교고2수학과외에서 다룬 핵심 오류가 실제 문제에서도 수정된 것으로 판단할 수 있다.