화담고등학교 고1 수학과외에서 다룬 문장형 방정식 풀이
화담고등학교 고1 수학과외에서는 고1 교과서 기본문제를 풀 때 숫자를 먼저 계산하는 습관보다 문장 속 관계를 식으로 옮기는 순서를 먼저 점검했다. 현재 이 학생은 간단한 문장을 등식이나 부등식으로 바꿀 수 있지만, ‘적어도’, ‘이하’처럼 범위를 나타내는 표현이 여러 개 나오면 한 조건을 빠뜨리기도 한다. 특히 역관계가 포함된 문장에서는 무엇을 미지수로 둘지 정한 뒤 조건을 차례로 연결하는 과정이 필요했다.
오답이 시작된 지점
한 고1 학생이 다음과 같은 기본문제를 풀었다. 어떤 수의 세 배에서 4를 뺀 값이 11 이하이고, 그 수는 2보다 크거나 같을 때 가능한 수의 범위를 구하는 문제였다. 학생은 먼저 숫자 3, 4, 11을 식에 넣고 3x-4<11을 세웠다. ‘이하’를 ‘작다’로만 옮겨 등호를 빠뜨린 것이다. 이어서 x<5를 구한 뒤, 뒤에 제시된 x≥2를 별도의 조건으로 표시하지 않고 답을 5보다 작은 수라고 적었다.
식의 계산 자체는 맞았지만 최초 오류는 숫자를 대입하기 전에 문장의 범위를 표시하지 않은 데 있었다. ‘이하’는 ≤, ‘이상’이나 ‘크거나 같다’는 ≥로 옮겨야 하며, 여러 조건이 있으면 각각을 적은 다음 동시에 만족하는 범위를 찾아야 한다. 이 학생은 조건을 식으로 바꾸는 능력은 있으나 범위 표현이 겹칠 때 핵심조건과 보조조건을 한 줄에 묶는 부분에서 흔들리고 있었다.
풀이 흐름을 한 번에 연결하기
수정할 때는 문제를 읽자마자 숫자를 계산하지 않고, 먼저 ‘구할 값’, ‘비교 대상’, ‘범위 표현’을 나누어 표시하게 했다. 미지수를 어떤 수로 두는지 적은 뒤 첫 식을 세운 이유를 짧게 설명했다.
- 어떤 수를
x로 둔다. - ‘세 배에서 4를 뺀 값이 11 이하’이므로
3x-4≤11을 세운다. - ‘그 수는 2보다 크거나 같다’이므로
x≥2를 함께 적는다. 3x-4≤11에서3x≤15, 따라서x≤5를 구한다.- 두 조건을 동시에 만족하므로 최종 범위는
2≤x≤5이다.
계산 뒤에는 경계값 2와 5를 원래 문장에 대입했다. 5를 대입하면 3×5-4=11이므로 ‘이하’ 조건을 만족하고, 2를 대입해도 첫 번째 조건을 만족한다. 반대로 1이나 6을 대입해 범위 밖의 값이 제외되는지 확인하면서 부등호 방향과 등호 포함 여부를 검산했다.
다음 날 빈 종이에서의 재적용
다음 날에는 풀이를 보지 않은 상태에서 숫자를 바꾼 문제를 제시했다. ‘어떤 수의 네 배에 1을 더한 값이 17 이하이고, 그 수가 3 이상일 때’를 풀게 하자, 학생은 먼저 x≥3과 4x+1≤17을 따로 적었다. 이후 4x≤16, x≤4를 계산하고 3≤x≤4로 합쳤다.
이번에는 ‘이하’의 등호를 빠뜨리지 않았고, 마지막에 3과 4를 대입해 양 끝값을 확인했다. 조건을 하나씩 식으로 옮긴 뒤 계산하고, 두 부등식의 공통 범위를 찾는 흐름이 새 문제에서도 유지된 것이다. 화담고등학교 고1수학과외 학습에서는 이런 최소 절차를 제한시간 안에서도 유지하도록, 매 문제마다 조건 표시와 마지막 검산을 짧게 반복하고 있다.