덕원예술고등학교 고1 수학과외에서 다룬 절댓값 조건 해석
덕원예술고등학교고1수학과외에서는 문제에 제시된 정보를 모두 계산에 넣기보다, 구할 값과 직접 연결되는 조건을 먼저 골라내는 데 초점을 둔다. 특히 식과 그래프가 함께 제시된 문제는 풀이가 끝난 뒤 사용하지 않은 조건이 남아 있는지 확인하도록 하여, 조건 해석부터 식 설정과 검산까지 이어지는 고등학교식 풀이를 연습한다.
기준점을 찾지 않아 생긴 오답
오답노트를 다시 재현하던 중 절댓값 문제가 나왔다. 학생은 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 먼저 찾지 않고 식 전체를 한 번에 풀기 시작했다. 그 결과 한 구간에서만 성립하는 식을 전체 범위에 적용했고, 계산 과정은 이어졌지만 다른 구간의 해가 빠졌다. 기준점이 여러 개 생기는 문제에서도 처음 발견한 식 하나로 끝까지 밀고 나가면서 경우가 뒤섞인 것이다.
명제 조건을 확인할 때도 비슷한 흐름이 나타났다. 문제의 조건을 읽은 뒤 핵심 조건과 보조 조건을 나누지 않고 숫자부터 대입했다. 그래프와 식이 함께 주어진 경우에는 식으로 구한 결과와 그래프가 보여 주는 구간을 대조하지 않아, 사용하지 않은 조건이 남아도 풀이를 종료했다.
현재 가능한 풀이와 흔들리는 지점
현재는 절댓값의 기본 성질을 알고, 절댓값이 하나이며 기준점이 하나인 문제는 해결할 수 있다. 또한 새 문제에서 개념과 첫 식을 다시 선택하려는 단계까지는 도달했다. 다만 절댓값 안의 식이 여러 개이거나 기준점이 여러 개 생기면 기준점을 찾는 순서가 흔들린다. 학교자료를 다시 풀 때에는 오답노트의 풀이 모양을 그대로 떠올려 한 식으로 처리하려는 행동이 반복된다.
오답을 고치는 실제 순서
정답을 먼저 제시하지 않고 절댓값 안의 각 식을 따로 적은 뒤, 각각이 0이 되는 기준점을 표시하게 했다. 기준점을 수직선에 놓고 구간을 나눈 다음, 각 구간에서 절댓값을 어떤 식으로 바꿀지 설명하게 했다. 이후 구간별로 식을 세우고 부호와 괄호를 중간마다 확인하면서 계산했다.
- 문제에서 구할 값과 주어진 조건을 분리한다.
- 절댓값 안의 식이 0이 되는 기준점을 먼저 찾는다.
- 기준점에 따라 구간을 나누고 각 구간의 식을 다시 쓴다.
- 구한 해를 해당 구간에 대입해 조건을 만족하는지 확인한다.
- 그래프가 함께 있으면 식의 해와 그래프의 범위를 대조한다.
숫자와 조건을 바꾼 문제에 재적용하기
다음 날에는 오답노트를 보지 않고 빈 종이에 같은 풀이 순서를 재현하게 했다. 이후 절댓값 안의 식의 숫자와 조건을 바꾼 문제를 제시해, 이전 예제의 답이나 숫자를 기억하는 대신 어떤 개념을 선택하고 첫 식을 어떻게 세울지 설명하게 했다. 기준점을 먼저 표시한 뒤 경우를 나누었고, 마지막에는 문제의 질문에 맞지 않는 해를 제외했다.
조합적 사고가 필요한 문제에서도 예제의 숫자를 따라 쓰지 않고 사용된 개념과 첫 식을 새로 선택하도록 했다. 덕원예술고등학교 고1수학과외의 재적용 과정에서는 풀이 후 사용하지 않은 조건을 표시하게 하여, 빠진 경우나 불필요하게 포함한 조건이 없는지 스스로 점검하도록 했다.