화성능동 고3수학과외: 조건이 바뀐 복합문제에서 풀이 기준 세우기
동탄3 생활권인 화성시 능동에는 능동고등학교가 있으며, 능동마을과 능동주공단지에서 통학하는 고3 학생은 중학교 때보다 이동 시간과 과제, 시험 범위를 함께 관리해야 한다. 이 학생은 계산 자체보다 여러 조건을 끝까지 분리해 해석하는 연습이 필요한 상태였다.
절댓값과 이차부등식을 한 문제에서 연결하기
다음 조건을 동시에 만족하는 실수 x의 범위를 구한다고 하자.
|x−2|≤x+1, (x−1)(x−4)≥0
학생은 이전에 풀던 순서를 그대로 적용하면서 절댓값을 곧바로 x−2로 바꾸었다.
|x−2|=x−2
x−2≤x+1
항상 성립하므로, (x−1)(x−4)≥0에서 x≤1 또는 x≥4
이 식은 틀린 오답이다. |x−2|=x−2는 x≥2일 때만 성립한다. x<2에서는 |x−2|=2−x이므로 절댓값 안의 식의 부호를 먼저 확인해야 한다. 따라서 x=0은 학생의 답에 포함되지만, 원래 조건에서 |0−2|≤0+1, 즉 2≤1이 되어 거짓이다.
경계값을 기준으로 식과 그래프 다시 맞추기
먼저 절댓값 그래프의 꼭짓점 x=2를 기준으로 나눈다.
- x<2이면 2−x≤x+1이므로 1≤2x, 따라서 x≥1/2이다.
- x≥2이면 x−2≤x+1이므로 항상 성립한다.
그러므로 첫 번째 조건의 해는 x≥1/2이다. 두 번째 조건은 부호표에서
(x−1)(x−4)≥0 ⟹ x≤1 또는 x≥4
이다. 두 범위를 수직선에 표시하고 겹치는 부분을 확인하면 최종 해는
[1/2, 1] ∪ [4, ∞)
가 된다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 절댓값의 기준점 x=2와 이차식의 경계값 1, 4를 각각 수직선에 적었다. 이후 x=1/2, x=1, x=4를 원식에 직접 대입했다. x=1/2에서는 3/2≤3/2, x=1에서는 1≤2, x=4에서는 2≤5가 모두 참이고, 구간 밖의 x=0에서는 거짓이므로 범위가 확정된다.
조건 하나가 사라졌을 때 풀이를 처음부터 다시 구성하기
이번에는 이차부등식 조건 없이 다음 문제를 새로 검증했다.
|x−3|<x+2
학생은 앞 문제의 복합식을 그대로 가져오려 했지만, 이번에는 절댓값 식만 남았으므로 x=3을 기준으로 다시 나누었다.
- x<3이면 3−x<x+2이므로 x>1/2이다.
- x≥3이면 x−3<x+2가 항상 성립한다.
따라서 새 문제의 해는 (1/2, ∞)이다. x=1/2를 대입하면 5/2<5/2가 거짓이므로 열린 구간이고, x=3과 x=5를 각각 대입하면 조건을 만족한다. 원래 문제의 [1/2,1]∪[4,∞)를 재사용하지 않고, 사라진 조건에 맞춰 식·경계·부등호를 첫 줄부터 다시 세운 것이 독립 검증의 핵심이다.