화성능동고2수학과외, 적분값과 넓이를 미분의 역관계로 연결하는 연습
“원시함수는 F(x)=x³-2x²+x+C이고, 계산에 맞으니 C=0이다.”
능동마을과 능동주공단지 생활권에서 학교 과제와 통학 시간을 함께 관리하다 보면, 적분 문제를 계산 과정만 빠르게 끝내려는 풀이가 나타나기 쉽다. 하지만 이 식에서 상수 C는 주어진 초기조건 없이는 정할 수 없다. 적분과 미분의 관계를 정확히 쓰려면 적분값, 함수값, 구간의 방향과 부호를 함께 확인해야 한다.
적분으로 만든 함수의 변화율부터 확인하기
다음 함수를 보자.
A(x)=∫₁ˣ(2t-3)dt
미적분의 기본정리에 따라
A′(x)=2x-3
이다. 여기서 적분의 위끝이 x이므로, 적분으로 정의된 함수의 순간변화율은 피적분함수에 해당한다. 또한
A(1)=∫₁¹(2t-3)dt=0
이라는 초기조건도 자동으로 얻는다. 부정적분처럼 계산하면
A(x)=x²-3x+2
이고, 실제로 A(1)=0이다. 적분 구간이 함수의 정의에 포함되어 있으므로 상수항을 임의로 선택할 수 없다.
상수항은 초기조건이 있을 때만 결정된다
이번에는
F′(x)=3x²-4x+1, F(2)=5
가 주어졌다고 하자. 먼저 미분의 역과정으로
F(x)=x³-2x²+x+C
를 얻는다. 이제 초기조건을 대입하면
F(2)=8-8+2+C=2+C=5
이므로 C=3이다. 따라서
F(x)=x³-2x²+x+3
이다. 반대로 F′(x)만 제시된 문제라면 모든 C가 가능하며, 특정 원시함수 하나를 확정해서는 안 된다.
정적분값과 넓이는 부호가 다를 수 있다
그래프와 x축 사이의 넓이를 구할 때는 정적분값을 그대로 넓이라고 쓰지 않는다. 예를 들어 f(x)=x-2의 [0,3]에서
∫₀³(x-2)dx=[x²/2-2x]₀³=-3/2
이다. 이는 signed area인 정적분값이고, 넓이는 음수가 될 수 없으므로 x축과 만나는 x=2에서 구간을 나눈다.
넓이=∫₀²(2-x)dx+∫₂³(x-2)dx=2+1/2=5/2
따라서 “정적분값이 -3/2이므로 넓이도 -3/2”라고 쓴 풀이는 부호와 넓이의 관계를 놓친 것이다.
계산 전 네모 조건을 적는 풀이
문제를 시작하기 전에 다음 네 가지를 답안 여백에 적는다.
- □ 적분 구간과 위끝·아래끝의 방향을 확인했는가?
- □ 구하는 값이 정적분값인지 넓이인지 구분했는가?
- □ 함수의 부호가 구간 전체에서 같은지 확인했는가?
- □ 원시함수의 상수항을 정할 초기조건이 있는가?
예를 들어 F′(x)=3x²-4x+1만 주어졌다면 마지막 칸은 ‘아니오’가 된다. 그러면 F(x)=x³-2x²+x+C까지만 적고, 임의로 C=0이라고 하지 않는다.
위끝이 x가 아닐 때의 부호까지 점검하기
하루 뒤에는 표현을 바꾼 문제로 확인한다.
B(x)=∫ˣ²(4-3t)dt
이때 위끝과 아래끝의 위치가 앞의 예와 반대이므로
B′(x)=-(4-3x)=3x-4
이다. 또
B(2)=0
이며, 직접 계산하면
B(x)=[4t-3t²/2]ₓ²=3x²/2-4x+2
를 얻는다. 새로운 계수와 적분 방향에서도 위끝의 변화, 부호, 초기조건을 스스로 표시했다면 미분과 적분의 역관계를 계산에만 의존하지 않고 적용한 것이다.