석우동 고3수학과외: 공간좌표와 내적 조건을 한 흐름으로 정리하기
동탄1 생활권의 석우동에서는 예당고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 시간을 짧게 나누는 방식이 필요하다. 현재 학생은 공간좌표식과 벡터 내적 조건을 각각 계산한 뒤 공통 변수로 연결하지 못하고 있었다.
거리 조건과 수직 조건의 공통 변수 찾기
점 \(A(1,2,-1)\), \(B(3,0,2)\), \(P(t,1,2)\)가 있을 때 다음 조건을 만족하는 \(t\)를 구한다고 하자.
- \(AP=\sqrt{35}\)
- \(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{AB}\)
학생은 여백에 다음과 같이 적었다.
오답: \((t-1)^2+10=35\)에서 \(t=6,-4\)를 얻고, 내적식에서는 \(2t+9=0\)이므로 \(t=-\frac92\)라고 작성함.
내적 계산에서 \(\overrightarrow{AP}=(t-1,-1,3)\), \(\overrightarrow{AB}=(2,-2,3)\)인데, 첫 번째 성분을 계산한 \(2(t-1)\)에 두 번째와 세 번째 성분을 더하면
\[ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} =2(t-1)+(-1)(-2)+3\cdot3 =2t+9 \]
따라서 \(2t+9=0\)은 맞으며, \(t=-\frac92\)가 아니라 \(t=-\frac92\)이다. 다만 거리 조건과 함께 확인하면 이 값은 거리 조건을 만족하지 않는다. 거리식은
\[ AP^2=(t-1)^2+(1-2)^2+(2+1)^2 =(t-1)^2+10=35 \]
이므로 \(t=6\) 또는 \(t=-4\)이다. 두 후보 중 내적 조건을 만족하는지 대입하면
- \(t=6\): \(2t+9=21\neq0\)
- \(t=-4\): \(2t+9=1\neq0\)
두 조건이 동시에 성립하지 않으므로, 처음 설정한 수치에는 해가 없다. 이 결과가 바로 조건을 끝까지 연결해 확인해야 하는 이유다. 학생은 계산 결과 하나를 답으로 고르는 대신, 두 조건의 양립 가능성부터 판단해야 한다.
틀린 줄을 남기고 조건을 다시 검산하기
풀이에서는 내적식 바로 아래에 “거리 후보와 일치하는가?”라고 표시한다. 이후 거리식에서 나온 후보를 내적식에 대입하고, 후보가 모두 탈락하면 문제 조건 자체에 해가 없는지 확인한다. 계산 중간에 임의로 \(t\)를 선택하지 않고, 변수의 범위와 부호를 끝까지 유지하는 방식이다.
이 학생은 평일 귀가 후 한 문제를 통째로 반복하기보다, 시험 범위에 포함된 공간좌표 문제에서 조건식을 먼저 표시하고 마지막 5분 동안 후보 대입 검산을 수행하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 연결 방식을 확인했다.
점 \(A(2,-1,1)\), \(B(5,1,0)\), \(P(t,2,3)\)에 대하여 \(AP=\frac{13}{3}\)이고 \(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{AB}\)일 때 \(t\)를 구한다.
거리 조건은
\[ (t-2)^2+3^2+2^2=\frac{169}{9} \]
이므로
\[ (t-2)^2=\frac{16}{9},\qquad t=\frac{10}{3}\ \text{또는}\ \frac23 \]
한편 \(\overrightarrow{AP}=(t-2,3,2)\), \(\overrightarrow{AB}=(3,2,-1)\)이므로
\[ \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB} =3(t-2)+6-2=3t-2 \]
수직 조건에서 \(3t-2=0\), 따라서 \(t=\frac23\)이다. 거리식의 두 후보 중 내적 조건까지 만족하는 값도 \(\boxed{\frac23}\)으로 일치한다. 숫자와 좌표가 바뀌어도 거리 조건으로 후보를 만들고, 내적 조건으로 후보를 제거하는 순서를 유지하면 된다.