석우동고2수학과외

석우동고2수학과외: 두 곡선 사이 넓이는 구간과 위아래 관계부터 확인합니다

예당고등학교의 시험 범위와 수행평가 준비를 평일 귀가 시간에 맞춰 나누다 보면, 적분 계산은 했지만 답안에 구간과 부호가 남지 않는 장면이 나타날 수 있습니다. 동탄1 생활권에서 학교 프린트 문제를 점검할 때도 두 곡선 사이 넓이는 계산보다 먼저 “어디서 만나는가”와 “어느 함수가 위에 있는가”를 판단해야 합니다.

음수가 나온 순간, 넓이와 정적분을 구분하기

다음 두 곡선의 교점 사이 넓이를 구해 봅니다.

y=x, y=x²

교점은

x=x² ⟺ x(x-1)=0

이므로 x=0, 1입니다. 0≤x≤1에서는 x²≤x이므로 위의 함수는 y=x, 아래의 함수는 y=x²입니다.

그런데 풀이 흔적에는

∫₀¹(x²-x)dx=-1/6

이라고 적혀 있고, 이를 넓이라고 결론 내렸습니다. 이 식은 아래 함수에서 위 함수를 뺀 정적분이므로 음수가 나온 것입니다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로

∫₀¹(x-x²)dx = [x²/2-x³/3]₀¹ = 1/2-1/3 = 1/6

이 되어야 합니다. 현재 풀이에서는 적분 계산 능력보다 구간과 함수의 위아래 관계를 답안에 보존하는 연결이 끊겨 있습니다.

x=1/2를 대입해 위아래를 먼저 고정하기

수정할 때는 교점만 구하고 바로 적분하지 않습니다. 두 교점 사이의 대표값으로 x=1/2를 대입합니다.

y=x일 때 1/2, y=x²일 때 1/4

이므로 이 구간에서는 x가 x²보다 위에 있습니다. 답안에는 다음 세 줄을 남깁니다.

1. 교점의 x좌표: 0, 1
2. 대표값 x=1/2에서 위 함수: x, 아래 함수: x²
3. 넓이: ∫₀¹(위 함수-아래 함수)dx

이렇게 간단한 대입으로 부호를 확인하면, 원래 두 곡선의 식을 없애고 막연히 양수로 바꾸는 것이 아니라 식의 순서를 근거와 함께 고쳐 쓸 수 있습니다.

문자가 바뀌어도 구간과 부호를 유지하는가

이번에는 두 곡선

y=x, y=kx² (k>0)

를 제시합니다. 교점은 x=0과 x=1/k입니다. 0≤x≤1/k에서 대표값 x=1/(2k)를 대입하면

x=1/(2k),   kx²=1/(4k)

이므로 직선 y=x가 위에 있습니다. 따라서 넓이는

∫₀^1/k(x-kx²)dx

이고, 계산하면

[x²/2-kx³/3]₀^1/k = 1/(2k²)-1/(3k²) = 1/(6k²)

입니다. 여기서도 k>0이라는 조건이 있어 교점의 순서와 구간이 확정됩니다. 숫자 대신 문자가 들어간 문제에서도 교점, 대표값 대입, 위 함수-아래 함수, 적분 구간을 차례로 설명했다면 두 곡선 사이 넓이의 적용 조건을 제대로 유지한 것입니다.