반월동고2수학과외, 두 곡선 사이 넓이를 적분값과 구분하는 풀이
화성반월고등학교처럼 학교와 주거지 사이 이동 시간이 학생마다 다를 수 있는 환경에서는, 긴 풀이를 한꺼번에 외우기보다 식의 의미를 짧게 확인하는 과정이 중요하다. 특히 적분 단원에서는 계산 결과가 양수여도 그것이 정적분값인지 넓이인지 구분해야 한다.
아래 함수에서 위 함수로 빼야 하는 이유
다음 두 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구해 보자.
y=x+2, y=x2
교점은
x2=x+2
x2-x-2=0
(x-2)(x+1)=0
따라서 구간은 -1≤x≤2이다. 이 구간에서 x=0을 대입하면 직선의 값은 2, 포물선의 값은 0이므로 위에 있는 함수는 x+2, 아래에 있는 함수는 x2이다.
그러므로 넓이는
∫-12[(x+2)-x2]dx
이다. 계산하면
[x2/2+2x-x3/3]-12 = 10/3-(-7/6) = 9/2
가 된다. 여기서 ∫(x2-(x+2))dx를 쓰면 같은 구간에서 함수값의 차이를 반대로 적은 것이므로 정적분값은 -9/2가 된다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로, 그 식은 넓이를 나타내지 않는다.
오답표의 ‘아래 함수-위 함수’가 식을 뒤집은 순간
변형 문제에서 계수와 부호가 바뀌자 학생은 다음처럼 적었다.
∫-12[x2-(x+2)]dx
오답표에 ‘두 곡선 사이에서는 아래 함수-위 함수 순서로 적분한다’고 기록했지만, 이 문장은 기호의 의미와 반대다. 위 함수에서 아래 함수를 빼야 높이가 양수가 되므로 정확한 관계는 다음과 같다.
세로 길이 = 위 함수값 - 아래 함수값
따라서 위 식에서 한 줄만 바꾸면
∫-12[(x+2)-x2]dx
가 된다. 계수나 부호를 먼저 계산하지 않고, 임의의 내부값을 대입해 어느 그래프가 위에 있는지 확인해야 식의 방향을 결정할 수 있다.
조건 하나가 바뀐 넓이에서 같은 판단 유지하기
이번에는 포물선만 바꾸어
y=2x+3, y=x2
를 살펴본다. 교점은
x2=2x+3
(x-3)(x+1)=0
이므로 -1≤x≤3이다. x=0에서 직선의 값은 3, 포물선의 값은 0이므로 넓이를 나타내는 식은
∫-13[(2x+3)-x2]dx
이다. 실제 계산값은
[x2+3x-x3/3]-13 = 9-(-5/3) = 32/3
이다. 이 문제에서 확인할 것은 숫자만 바꾸었는지가 아니다. 학생이 ‘2x+3이 위, x2이 아래’라고 말한 뒤 그 설명과 일치하도록 한 줄을 작성했는지, 그리고 결과가 음수가 아닌지까지 점검해야 한다. 같은 순서로 아래 함수에서 위 함수를 빼면 -32/3이 되어 넓이로 사용할 수 없다.
반월동의 생활 리듬에 따라 풀이 시간이 달라도, 두 곡선 문제에서는 교점으로 구간을 정하고 내부값으로 위아래를 판단한 다음 ‘위-아래’ 한 줄을 남기는 과정이 변형 조건에서도 유지되어야 한다.