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창우동고3수학과외

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창우동 고3 수학과외: 조건이 바뀐 확률 문제의 경우 나누기

창우동 생활권에서 하남경영고등학교와 한국애니메이션고등학교 학생의 주간 일정은 서로 다를 수 있고, 같은 하남시의 미사강변고등학교·미사고등학교·신장고등학교도 참고 범위로 구분해야 한다. 이 학생은 학교별 내신 진도에 맞춰 확률과 경우의 수를 함께 정리하던 중, 조건이 바뀐 문제에서 이전 계산을 그대로 적용하는 오류를 보였다.

새 조건에서 분모부터 다시 정하기

남학생 6명, 여학생 5명 중에서 4명을 동시에 뽑을 때, 여학생이 2명 이상일 확률을 구해 보자. 여학생 수를 x라 두면 전체 인원과 조건에 따라 가능한 범위는 다음과 같다.

x의 범위2≤x≤4
여학생 선택C(5,x)
남학생 선택C(6,4-x)

전체 경우의 수는 성별 조건을 적용하기 전의 모든 4명 선택이므로 C(11,4)=330이다. 따라서 원하는 경우의 수는

C(5,2)C(6,2)+C(5,3)C(6,1)+C(5,4)C(6,0)

=10×15+10×6+5×1=215

이고, 확률은 215/330=43/66이다.

학생이 남긴 오답과 수정 과정

오답: P=\frac{C(5,2)C(6,2)+C(5,3)C(6,1)+C(5,4)C(6,0)}{C(9,3)}=\frac{215}{84}

이 식은 틀렸다. 새 문제는 6명과 5명을 합친 11명 중 4명을 뽑으므로 분모가 C(11,4)여야 한다. 이전 문제의 인원 9명과 선택 인원 3명을 새 조건에 그대로 남긴 것이 오류다. 또한 확률이 1보다 커지는 순간 분모가 전체 경우의 수가 아님을 확인할 수 있다.

  • 틀린 줄에 형광펜으로 C(9,3)을 표시한다.
  • 표의 첫 칸에 2≤x≤4를 먼저 적어 조건에 맞는 후보만 남긴다.
  • 전체 인원 11명, 선택 인원 4명을 다시 확인해 분모를 C(11,4)로 수정한다.
  • 각 항을 대입해 분자를 215로 계산한 뒤 0≤43/66≤1인지 확인한다.
  • 여학생 수가 0명, 1명인 경우를 제외한 값이므로 전체 경우의 수에서 직접 빼도 같은지 검산한다.

1-\frac{C(5,0)C(6,4)+C(5,1)C(6,3)}{C(11,4)} =1-\frac{15+100}{330} =\frac{215}{330}으로 일치한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 남학생 7명, 여학생 5명 중 5명을 뽑을 때 여학생이 3명 이상일 확률을 확인한다. 여학생 수를 y라 하면 표의 첫 칸에는 3≤y≤5를 적는다.

전체 경우의 수는 C(12,5)=792이고, 조건을 만족하는 경우는

C(5,3)C(7,2)+C(5,4)C(7,1)+C(5,5)C(7,0)

=10×21+5×7+1=246이다. 따라서 확률은 246/792=41/132이다.

마지막으로 전체 경우의 수는 생성식 (1+t)^{12}의 t^5의 계수와 같다. 양변을 미분하면 12(1+t)^{11}이 되어 계수 관계가 유지되는지 확인할 수 있고, 이는 선택 인원과 전체 인원의 관계를 다시 점검하는 근거가 된다. 학생은 새 조건마다 변수 범위와 분모를 먼저 기록한 뒤 계산하도록 풀이 순서를 고쳤다.

수업에서 달라진 모습

모르는 걸 말하는 힘

시험이 끝난 뒤 점수보다 제가 어떤 문제에서 막혔는지 돌아보게 된 것이 가장 기억에 남습니다. 창우동에서 수업을 시작할 때만 해도 모르는 문제를 들키기 싫어 조용히 있었는데, 어려운 단원의 오답을 다시 풀 때 선생님이 바로 답을 주지 않고 필요한 만큼만 힌트를 주셔서 끝까지 생각해 볼 수 있었습니다. 숙제와 복습할 분량도 나눠 주셔서 부담이 덜했고, 시험기간에는 대답하는 목소리도 한결 편해졌습니다.

★★★★★

질문이 편해진 수업

창우동에서 과외를 시작할 때만 해도 수업에서 이해한 내용도 집에 오면 금방 잊어버려 복습을 거의 하지 않았습니다. 학기가 시작되고 첫 시험을 준비하면서 선생님은 학교 진도보다 앞서가려 하기보다 현재 범위를 차분히 정리하고, 제가 혼자 이어서 풀 시간을 남겨 주셨습니다. 부모님과 수업 이야기를 나눈 뒤에는 수학을 잘해야 한다는 부담보다 모르는 것을 하나씩 물어보고 해결해 보자는 마음이 생겼습니다.

★★★★★

밀리지 않는 과제

창우동에서 수학 과외를 시작했을 때는 계산이 조금만 복잡해져도 금방 집중력이 흐트러졌는데, 수업이 끝난 뒤 선생님과 오늘 막힌 부분을 편하게 이야기할 수 있어 좋았습니다. 숙제를 거의 끝내고 한 문제만 남았을 때도 답을 바로 알려주기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾아주셨고, 시험기간에는 제가 먼저 궁금한 내용을 꺼내는 일이 늘었습니다.

★★★★☆

모르는 걸 말하는 힘

학기가 시작되고 첫 시험을 준비하면서 평소엔 잊어버린 내용을 한꺼번에 외우려 했는데, 선생님과 수업 일정에 대해 이야기한 뒤부터 조금씩 정리하는 습관이 생겼습니다. 창우동에서 수업을 받으며 학교 진도가 늦을 때도 무리하게 앞서가지 않고 현재 범위를 다시 확인했고, 모르는 부분은 편하게 질문할 수 있어 시험기간에도 부담이 덜했습니다. 이제는 수학을 잘해야 한다는 압박보다 모르는 것을 하나씩 해결해 보자는 마음이 커졌습니다.

★★★★★

질문이 편해진 수업

창우동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 질문할 문제를 표시해 두는 모습부터 달라졌습니다. 예전에는 모르는 문제를 그냥 넘겼지만, 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 숙제와 복습량을 조절하고 스스로 공부할 시간도 남겨 주셨습니다. 지난주에 틀린 문제를 다시 만났을 때도 피하지 않고 먼저 풀어 보려는 모습이 보여 반가웠습니다.

★★★★★

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