창우동고2수학과외, 정적분의 계산값과 넓이를 다시 연결하는 풀이
창우 생활권에서 하남경영고등학교와 한국애니메이션고등학교의 일정에 맞춰 고2 수학을 공부할 때는 학교별 프린트와 평가 범위에 따라 정적분 계산을 여러 형태로 만나게 된다. 같은 적분이라도 계수와 부호, 식의 표현 순서가 달라지면 계산 결과를 도형의 넓이와 연결하는 과정에서 판단이 흔들릴 수 있다.
F(3)-F(1)을 먼저 쓰지 못하면 생기는 오류
다음 적분을 계산해 보자.
∫₁³ (2x-1) dx
원시함수는 F(x)=x²-x이다. 따라서 정적분의 기본정리에 따라
∫₁³ (2x-1) dx = [x²-x]₁³ = F(3)-F(1)
이고,
F(3)=9-3=6, F(1)=1-1=0
이므로 적분값은 6이다. 그런데 풀이 흔적에 F(1)-F(3)=0-6=-6이라고 적혀 있다면, 원시함수나 미분 계산의 오류가 아니라 상한과 하한의 순서를 뒤집은 것이다. 정적분은 항상 위끝값에서 아래끝값을 뺀다.
여기서 함수 2x-1은 구간 [1, 3]에서 음수가 아니다. x=1일 때 1이고 x=3일 때 5이므로 그래프가 x축 위에 있다. 따라서 적분값 6은 이 구간에서의 넓이와도 같다.
적분값이 넓이가 되는 조건을 식 옆에 남기기
적분값과 넓이를 무조건 같은 말로 쓰면 안 된다. 예를 들어
∫₋₁¹ x dx = [x²/2]₋₁¹ = 1/2-1/2=0
이지만 그래프 y=x는 구간의 왼쪽에서 x축 아래, 오른쪽에서 x축 위에 있다. 정적분값은 서로 상쇄되어 0이 되지만 넓이는 0이 아니다.
넓이를 구하려면 x축과의 교점 x=0을 기준으로 구간을 나누어
∫₋₁⁰ (-x) dx + ∫₀¹ x dx = 1/2+1/2=1
로 계산해야 한다. 풀이할 때는 원시함수를 찾은 뒤 곧바로 답만 적지 않고, 식 아래에 “구간에서 함수의 부호 확인”을 표시한다. 함수가 구간 전체에서 양수이면 정적분값을 넓이로 사용할 수 있고, 부호가 바뀌면 구간을 나누거나 절댓값을 반영해야 한다.
계수와 부호를 바꾼 표현에서 다시 확인하기
계산 순서를 고정하지 않고 다음 식을 확인한다.
∫₃¹ (1-2x) dx
원시함수는
F(x)=x-x²
이므로
∫₃¹ (1-2x) dx = F(1)-F(3)
이다. F(1)=0, F(3)=3-9=-6이므로 적분값은 6이다. 이번에는 구간의 방향이 3에서 1로 표시되어 있어도 공식은 여전히 상한 1의 함수값 - 하한 3의 함수값이다. 또한 1-2x는 [1, 3]에서 음수이지만 적분 구간이 반대로 주어졌기 때문에 결과가 양수가 된다.
이때 적분값 6을 곧바로 넓이라고 판단하지 말고, 보통의 구간 [1, 3]에서 y=1-2x가 만드는 실제 넓이를 따로 보면
∫₁³ (2x-1) dx=6
이다. 표현된 적분의 방향과 도형의 넓이를 구하는 방향을 구분해야 한다.
표현 순서를 바꾼 검산 문제
마지막으로 다음 식을 별도의 풀이로 계산한다.
∫₄² (3x²-4x) dx
원시함수는 F(x)=x³-2x²이고, 따라서
F(2)-F(4)=(8-8)-(64-32)=0-32=-32
이다. 여기서는 구간의 방향 때문에 적분값이 음수가 된다. 반면 구간 [2, 4]에서 3x²-4x=x(3x-4)는 양수이므로 해당 그래프와 x축 사이의 넓이는
∫₂⁴ (3x²-4x) dx=32
이다. 새 문제에서도 상한·하한을 표시하고, 원시함수에 대입한 뒤, 함수의 부호와 구간 방향을 따로 확인했다면 계산값과 넓이를 혼동하지 않은 것이다.
창우동에서 주간 학습량이 학교 일정에 따라 달라지더라도 정적분 풀이에는 세 흔적을 남길 수 있다. 상한값-하한값, 구간에서의 부호, 적분값과 넓이의 구분이다. 이 세 항목을 계수와 표현이 달라진 문제에서도 스스로 찾아내는지가 변형문제 대응을 판단하는 기준이 된다.