신장동 고3수학과외, 경우의 수에서 확률로 넘어갈 때 조건을 분리하는 풀이
신장동의 신장고등학교 학생은 하남시청역과 창우마을 주변을 거쳐 방과 후 이동한 뒤 자습 시간을 확보하고 있었다. 짧은 자습 시간에는 풀이 전체를 다시 쓰기보다, 확률 문제에서 최초로 공식과 표본공간이 어긋난 줄을 찾는 연습이 더 중요했다. 미사강변고등학교·미사고등학교·위례고등학교·감일고등학교는 같은 하남시 내 참고 학교이며, 신장동 소재 학교와는 구분해 보았다.
표본공간의 기준이 달라진 첫 번째 오답
학생은 여학생 4명, 남학생 2명 중 3명을 뽑을 때 여학생이 정확히 2명일 확률을 다음처럼 계산했다.
오답: \(\dfrac{\binom{4}{2}\binom{2}{1}}{6P3}=\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}\)
이 식은 틀렸다. 분자는 순서를 고려하지 않은 조합으로 유리한 경우를 세었지만, 분모는 순서를 고려한 순열 \(6P3\)으로 전체 경우를 세었기 때문이다. 표본공간과 유리한 경우 수의 조건이 서로 다르다. 이 문제에서 3명을 동시에 뽑는 상황은 순서가 없으므로 전체 경우는 \(\binom{6}{3}\)이어야 한다.
따라서 정확한 계산은 다음과 같다.
\[ P=\frac{\binom{4}{2}\binom{2}{1}}{\binom{6}{3}} =\frac{6\cdot2}{20} =\frac{3}{5} \]
학생은 이전에 풀이 전체를 처음부터 다시 썼지만, 이제는 오답표에 최초 오류를 공식 선택 오류로 표시한다. 부호 문제라면 부호 오류, 가능한 값의 범위를 빠뜨렸다면 범위 오류로 분류한다. 확률 \(p\)를 다룰 때는 수직선에 \(0\le p\le1\)을 먼저 표시해 \(\frac{3}{5}\)가 범위 안에 있는지도 확인한다.
조건을 식으로 옮기는 실제 점검
- 전체 대상: 6명
- 선택 인원: 3명
- 전체 경우: \(\binom{6}{3}\)
- 정확히 여학생 2명: \(\binom{4}{2}\binom{2}{1}\)
- 순서가 없는 선택이므로 \(P\)가 아니라 조합을 사용
오답 줄에 밑줄을 긋고, ‘3명을 뽑는 순서가 결과에 영향을 주는가?’를 확인한 뒤 분모를 \(\binom{6}{3}\)으로 교체한다. 마지막에는 분자와 분모를 직접 나열해 유리한 경우 12개, 전체 경우 20개인지 역검산한다. 확률이 1보다 큰지, 음수인지도 함께 확인한다.
계수를 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 여학생 3명, 남학생 4명 중 3명을 뽑아 여학생이 정확히 2명일 확률을 구한다. 이번에도 순서 없는 선택이므로
\[ P=\frac{\binom{3}{2}\binom{4}{1}}{\binom{7}{3}} =\frac{3\cdot4}{35} =\frac{12}{35} \]
학생은 전체 경우를 \(\binom{7}{3}=35\), 유리한 경우를 \(\binom{3}{2}\binom{4}{1}=12\)로 따로 계산한 뒤 \(0\le\frac{12}{35}\le1\)을 확인했다. 인원과 계수가 바뀌어도 표본공간과 유리한 경우의 조건을 같은 기준으로 세우는지가 핵심이다.