신장동고2수학과외, 정적분 계산에서 넓이 오답의 줄을 찾아내는 연습
하남시 신장동에서 신장고등학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 풀이를 많이 늘리기보다, 답안의 계산 한 줄이 무엇을 뜻하는지 추적하는 과정이 필요하다. 특히 정적분과 넓이 문제에서는 원시함수의 대입 순서를 바꾸는 순간 부호가 달라진다.
F(1)-F(3)이 왜 잘못된 계산인가
다음 적분을 계산해 보자.
∫₁³(2x+1)dx
피적분함수의 원시함수를 F(x)=x²+x로 두면 정적분의 기본정리에 따라
∫₁³(2x+1)dx = [x²+x]₁³ = F(3)-F(1)
이다. 따라서
F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10
이 된다. 그런데 답안에 F(1)-F(3)=2-12=-10이라고 적었다면, 원시함수 자체를 잘못 구한 것이 아니라 하한과 상한의 대입 순서를 뒤집은 것이다. 구간이 1에서 3까지이므로 오른쪽 끝값에서 왼쪽 끝값을 빼야 한다.
정적분값과 넓이를 같은 줄에서 처리하지 않기
위 문제에서는 2x+1이 구간 [1, 3]에서 항상 양수이므로 그래프와 x축 사이의 넓이도 정적분값과 같은 10이다. 하지만 정적분값이 언제나 넓이를 뜻하는 것은 아니다. 함수가 x축 아래에 있거나 구간 안에서 부호가 바뀌면 먼저 정적분값을 계산한 뒤 넓이와 구분해야 한다.
풀이를 다시 쓸 때는 계산 전에 다음처럼 구간과 대입 순서를 표시한다.
하한 1, 상한 3 → F(상한)-F(하한)=F(3)-F(1)
그 다음 대괄호를 풀어
[x²+x]₁³=(3²+3)-(1²+1)=12-2=10
으로 남긴다. 답만 고치는 것이 아니라, 어느 줄에서 순서가 바뀌었는지 표시해야 같은 유형의 넓이 문제에서도 오류를 발견할 수 있다.
숫자를 바꾼 계산에서 순서를 스스로 복원하기
이제 다음 문제를 계산한다.
∫₀³(2x+2)dx
원시함수는 F(x)=x²+2x이므로 답안에는
[x²+2x]₀³=F(3)-F(0)=(9+6)-0=15
가 나타나야 한다. 여기서 F(0)-F(3)을 쓰면 -15가 되므로, 구간의 방향과 맞지 않는 부호가 생긴다. 또한 함수 2x+2는 [0, 3]에서 양수이므로 그래프와 x축 사이의 넓이는 15이다.
계산을 마친 뒤에는 “상한 대입값 − 하한 대입값”을 말로 확인하고, 함수가 해당 구간에서 양수인지 살핀다. 이렇게 해야 정적분값의 부호와 넓이의 양수 조건을 각각 검토할 수 있다.