감일동중3수학과외, 숫자와 부호가 바뀌어도 인수분해 원리 적용하기
감일동중3수학과외에서 확인한 인수분해의 첫 판단
학생은 식 6x²+11x+3을 보고 곧바로 “앞의 수 6과 마지막 수 3을 곱하면 18, 합이 11인 두 수는 2와 9”라고 적었다. 그러나 뒤의 식을 (3x+2)(2x+? )처럼 이어 쓰다가 중간항의 계수를 맞추지 못하고 멈췄다. 곱과 합에 필요한 수를 찾는 것까지는 했지만, 그 수를 어떤 항에 배치해야 하는지 확인하지 않은 상태였다.
이 장면에서 인수분해를 단순히 공식 암기로 처리하는지, 아니면 전개와 역관계를 이용해 판단하는지를 구분할 수 있다. 6x²+11x+3에서는 두 수 9와 2를 이용해 중항을 나누면 된다.
6x²+11x+3
=6x²+9x+2x+3
=3x(2x+3)+1(2x+3)
=(3x+1)(2x+3)
학생이 처음 쓴 수 자체가 틀린 것은 아니었다. 막힌 지점은 9와 2를 찾은 뒤 각각을 6x²와 3 사이에 배치하고, 두 묶음에서 같은 인수를 만들어야 한다는 다음 행동이었다.
곱과 합을 맞춘 뒤에도 전개로 확인해야 하는 이유
인수분해에서는 숫자를 찾았다는 사실만으로 답을 확정할 수 없다. 예를 들어 4x²-4x-15에서 앞 계수와 상수의 곱은 -60이다. 곱이 -60이고 합이 -4인 두 수는 6과 -10이다.
따라서
4x²+6x-10x-15
=2x(2x+3)-5(2x+3)
=(2x-5)(2x+3)
가 된다. 여기서 부호를 잘못 읽은 학생은 6과 10을 모두 양수로 두어 중항을 +6x+10x로 만들기도 한다. 그러면 합은 16이므로 원래의 -4x와 일치하지 않는다. 수정할 때는 곱을 찾은 직후 “두 수의 합이 중항의 계수와 같은가?”를 소리 내어 확인하고, 인수분해한 결과를 다시 전개한다.
두 수의 곱은 첫 항의 계수와 마지막 상수의 곱, 두 수의 합은 가운데 항의 계수다. 단, 최종 답은 반드시 다시 전개해 확인한다.
감일지구 중심 생활권에서 감일백제중학교의 학교 일정과 평일 귀가 시간을 함께 놓고 공부 계획을 세울 때도 이 확인 과정을 짧은 단위로 넣을 수 있다. 같은 하남시의 감일중학교, 남한중학교, 덕풍중학교, 동부중학교는 감일동 소재 학교로 단정하지 않고 통학권 참고 자료로만 구분한다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 확인되면 인수분해 문제를 한꺼번에 많이 풀기보다, 해당 범위의 오답 식을 다시 전개하는 시간을 평일 학습 안에 배치하는 방식이 적절하다.
앞 계수가 1일 때와 아닐 때를 섞어 보는 연습
학생은 x²+7x+12에서는 곧바로 (x+3)(x+4)를 찾았지만, 앞 계수가 달라지면 같은 방식으로만 처리하려 했다. 두 형태는 원리는 같지만 첫 행동이 다르다. 앞 계수가 1이면 합이 7, 곱이 12인 두 수를 찾으면 된다.
x²+7x+12=(x+3)(x+4)
반면 6x²+7x+2에서는 6과 2의 곱인 12를 기준으로 합이 7인 3과 4를 찾고 중항을 나눈다.
6x²+3x+4x+2
=3x(2x+1)+2(2x+1)
=(3x+2)(2x+1)
두 식을 나란히 놓으면 학생은 “앞 계수가 1이면 두 수를 바로 괄호에 넣고, 앞 계수가 1이 아니면 중항을 나누어 묶을 수 있는 공통인수를 만든다”고 자신의 말로 정리할 수 있다. 이 설명이 빠진 채 답만 맞히면 숫자를 기억한 것일 수 있으므로, 풀이 중간의 선택 이유를 반드시 말하게 한다.
식의 모양이 달라져도 공통인수를 먼저 찾기
인수분해가 항상 세 항으로만 제시되는 것은 아니다. 3x³-12x를 본 학생은 곧바로 두 수를 찾으려 했지만, 먼저 모든 항에 공통으로 들어 있는 3x를 꺼내야 한다.
3x³-12x=3x(x²-4)=3x(x-2)(x+2)
처음의 3x를 빠뜨리고 x³-4x처럼 처리하면 원래 식과 달라진다. 수정 행동은 식을 보자마자 각 항을 나누어 공통인수를 확인하고, 꺼낸 뒤 남은 식이 다시 인수분해되는지 한 번 더 살피는 것이다. 다만 공통인수를 찾는 과정이 이차식의 인수분해 원리와 분리된 별도 암기가 되지 않도록, 마지막에는 전체 결과를 다시 곱해 원래 식으로 돌아오는지 확인한다.
새 숫자와 부호로 독립 적용하기
다음 학습에서는 앞서 풀었던 식을 그대로 반복하지 않고 8x²-2x-3을 제시했다. 학생은 먼저 8×(-3)=-24를 적고, 곱이 -24이며 합이 -2인 수로 4와 -6을 골랐다.
8x²+4x-6x-3
=4x(2x+1)-3(2x+1)
=(4x-3)(2x+1)
이번에는 숫자와 부호가 모두 바뀌었지만 학생이 도움 없이 곱과 합을 구분하고, 음수 항을 포함한 중항을 만든 뒤 묶었다. 마지막으로 (4x-3)(2x+1)을 전개해 8x²+4x-6x-3=8x²-2x-3을 확인했다. 같은 답을 다시 쓰는 것이 아니라 조건이 달라진 식에서 첫 행동과 검산까지 스스로 이어 갔다는 점이 인수분해 독립 적용의 기준이다.