감일동중2수학과외, 여사건에서 ‘1에서 무엇을 빼는지’ 분명히 하기
확률 단원에서 여사건은 계산 자체보다 사건의 범위를 정확히 정하는 데서 갈린다. 학생은 1-P(A)라는 식을 기억하고도 A가 무엇인지 문장으로 고정하지 않은 채 숫자만 대입한다. 그러면 ‘빨간 공이 나오지 않을 확률’과 ‘빨간 공이 아닌 특정 공이 나올 확률’을 구분하지 못하고, 1에서 엉뚱한 값을 빼게 된다.
먼저 확인할 것은 계산이 아니라 사건의 이름이다
주사위 한 개를 던질 때 사건 A를 ‘짝수가 나오는 것’이라고 하자. A는 {2, 4, 6}이고, 여사건은 ‘짝수가 나오지 않는 것’, 즉 {1, 3, 5}이다. 따라서
P(A의 여사건)=1-P(A)=1-3/6=1/2
여기서 1은 가능한 모든 결과의 확률을 뜻한다. ‘짝수가 나오지 않는다’에는 홀수 전체가 포함된다. 반면 사건 A를 ‘6의 약수가 나오는 것’으로 정했다면 A={1, 2, 3, 6}이고 여사건은 {4, 5}가 된다. 같은 주사위라도 사건을 어떻게 정했는지에 따라 1에서 빼는 값이 달라진다.
감일동 학생에게 나타난 실제 풀이 장면
한 학생은 수행평가 전날 다음 문제를 풀었다.
“상자에 흰 공 3개와 검은 공 2개가 있다. 공 한 개를 꺼낼 때, 흰 공이 나오지 않을 확률을 구하여라.”
학생은 흰 공이 나올 확률 3/5를 구한 뒤, 답안에 1-3/5=2/5까지는 적었다. 그러나 다른 문제에서 “적어도 한 번 성공할 확률”을 구할 때도 성공 확률을 그대로 A로 두지 않고, 실패 확률을 1에서 빼야 하는 상황과 뒤섞였다. ‘성공하지 않는 사건’과 ‘실패가 한 번 이상 발생하는 사건’을 같은 뜻으로 처리하면서 사건의 범위를 말로 설명하지 못했다.
오답 원인은 계산 실수가 아니었다. 첫째, 여사건을 단순히 ‘반대 숫자’로 생각했다. 둘째, 한 번의 시행인지 여러 번의 시행인지 확인하지 않았다. 셋째, 1에서 빼는 대상인 사건 A를 답안에 쓰지 않았다. 문제 수를 많이 푼 날에도 이 첫 문장이 빠져 있어 비슷한 오답이 반복됐다.
식보다 먼저 쓰는 짧은 문장
풀이를 시작할 때 학생은 문제의 요구를 그대로 사건 A로 옮긴다. “A=흰 공이 나오는 사건”처럼 적은 뒤, 바로 아래에 “A의 여사건=흰 공이 나오지 않는 사건”이라고 쓴다. 그 다음 전체 경우의 수와 A의 경우의 수를 따로 확인한다.
- 한 번 뽑는 문제인지, 여러 번 뽑는 문제인지 표시한다.
- ‘않는다’, ‘적어도’, ‘모두’, ‘한 번 이상’ 같은 조건에 밑줄을 긋는다.
- 1에서 뺄 확률을 기호 A 또는 문장으로 다시 쓴다.
- 여사건의 결과를 가능한 경우 표나 수형도로 짧게 확인한다.
- 마지막에 원래 사건과 여사건의 확률 합이 1인지 검산한다.
예를 들어 동전을 두 번 던져 “적어도 한 번 앞면이 나올 확률”을 구한다면, 사건 A를 ‘두 번 모두 뒷면이 나오는 사건’으로 잡아야 한다. 전체 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지이고, A의 확률은 1/4이다. 따라서 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 1-1/4=3/4이다. 이때 1에서 뺀 것은 ‘앞면이 나올 확률’이 아니라 ‘두 번 모두 뒷면일 확률’이다.
수행평가가 있는 날의 유지선
평일 귀가 시간과 수행평가 준비가 겹치는 날에는 새 문제를 많이 추가하기보다 현행 오답 한두 문제를 유지선으로 남긴다. 단, 답만 다시 맞히는 방식은 사용하지 않는다. 학생은 오답 옆에 다음 세 칸을 만든다.
- 내가 정한 사건 A
- 1에서 뺀 사건
- 여사건과 A의 확률 합
처음에는 교사가 “무엇의 반대인가?”라고 묻지 않고, 학생이 막힌 지점을 한 문장으로 말하게 한다. “1에서 뺄 사건을 정하지 못했습니다”처럼 표현하면 그 문장을 기준으로 다시 표를 만든다. 이후 같은 문제의 숫자만 바꾸는 대신 조건을 바꾼다.
독립 검증: 숫자와 조건을 바꾼 새 문제
첫 문제를 맞힌 뒤에는 주사위와 공 문제를 섞어 새로 확인한다. 예를 들어 주사위 두 개를 던질 때 “합이 5가 아닐 확률”을 묻는다. 합이 5인 경우는 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 네 가지이므로 그 확률은 4/36=1/9이다. 따라서 합이 5가 아닐 확률은 1-1/9=8/9이다.
다음에는 “두 번 뽑아 적어도 한 번 검은 공이 나올 확률”처럼 시행 횟수를 바꾼다. 복원 여부가 제시되지 않았다면 임의로 확률을 완성하지 않고 조건이 부족하다고 표시해야 한다. 복원하여 뽑는다고 명시된 경우에만 ‘두 번 모두 흰 공’의 확률을 구해 여사건으로 전환한다. 숫자, 표현, 시행 조건이 달라져도 학생이 사건을 먼저 정의하는지 확인한다.
감일동 생활권에서의 학습 조정
감일지구와 감일스윗시티1단지·10단지 주변에서 학교와 귀가 일정이 겹치는 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 날짜를 먼저 달력에 표시하는 편이 효율적이다. 감일백제중학교는 감일동 지역 내 학교로 확인되며, 감일중학교·남한중학교·덕풍중학교·동부중학교는 같은 하남시의 참고 학교로만 구분한다. 학교별 출제 난도는 단정하지 않고, 실제 받은 프린트와 안내된 범위 안에서 여사건 문제의 조건 읽기를 점검한다.
자주 묻는 내용
여사건은 무조건 1에서 사건의 확률을 빼면 되나요?
먼저 사건 A와 그 여사건이 전체 경우를 빠짐없이 나누는지 확인해야 한다. 사건을 정확히 정했다면 P(A의 여사건)=1-P(A)이다.
‘적어도 한 번’은 무엇을 빼야 하나요?
보통 ‘한 번도 일어나지 않는 사건’을 정해 1에서 뺀다. 시행 횟수와 복원 여부가 주어졌는지 먼저 확인해야 한다.
답은 맞는데 풀이에 감점이 생기나요?
여사건을 사용한 이유와 1에서 뺀 사건을 쓰지 않으면 서술형에서 근거가 부족할 수 있다. 사건의 정의, 확률식, 계산 결과를 순서대로 남긴다.