“평균이 같으니 두 자료의 분포도 비슷하다”고 답한 뒤, 학생은 계산을 끝냈다고 생각했다. 그러나 산포도 비교 문제에서 요구하는 것은 평균만 확인하는 일이 아니다. 자료가 평균 주변에 얼마나 모여 있는지, 값들의 흩어진 정도를 어떤 수치와 근거로 설명하는지까지 연결해야 한다. 인계동중3수학과외에서는 산포도 문제를 풀 때 정답 숫자보다 풀이 근거와 검산이 빠지지 않았는지를 먼저 살핀다.
평균이 같아도 자료의 흩어짐은 달라진다
예를 들어 두 학생이 5일 동안 푼 문제 수가 다음과 같다고 하자.
A자료: 6, 8, 10, 12, 14
B자료: 8, 9, 10, 11, 12
두 자료의 평균은 모두 10이다. 학생은 여기서 “평균이 같으므로 두 자료의 특징도 같다”고 적었지만, 실제 값의 배열은 다르다. A자료는 평균 10에서 멀리 떨어진 6과 14가 있고, B자료는 10 주변에 더 모여 있다. 따라서 두 자료의 산포를 비교하려면 평균과 함께 편차, 분산 또는 표준편차를 확인해야 한다.
편차의 부호를 지우기 전에 이유를 확인하기
학생이 처음 작성한 표에는 A자료의 편차를 -4, -2, 0, 2, 4로 적은 뒤 모두 더하여 0이라고 표시되어 있었다. 이 계산 자체는 맞지만, 편차의 합이 0이라는 이유로 “흩어진 정도가 없다”고 결론 내린 것이 문제였다. 평균보다 작은 값의 음의 편차와 평균보다 큰 값의 양의 편차가 서로 상쇄되기 때문이다.
산포를 비교할 때는 편차를 제곱하여 부호를 없앤다. A자료의 편차 제곱은 16, 4, 0, 4, 16이므로 그 합은 40, 분산은 40÷5=8이다. B자료의 편차 제곱은 4, 1, 0, 1, 4이고 합은 10, 분산은 10÷5=2이다. 따라서 A자료의 분산이 B자료보다 크며, A자료가 평균 10에서 더 넓게 흩어져 있다고 설명해야 한다.
이때 학생에게 “분산 공식을 외워서 다시 쓰라”고 하지 않는다. 먼저 각 자료의 평균을 표시하고, 각 값에서 평균을 뺀 뒤, 편차의 부호가 사라지도록 제곱한다. 마지막으로 제곱한 값의 합을 자료의 개수로 나눈다. 학생이 표의 각 칸을 직접 채우면 어느 단계에서 수치가 달라졌는지 확인하기 쉽다.
분산을 구한 뒤에도 한 번 더 대조하는 절차
산포도 문제에서 자주 나오는 실수는 편차 제곱 하나를 빠뜨리거나, 제곱한 합을 자료의 개수가 아닌 다른 수로 나누는 것이다. 그래서 풀이가 끝나면 다음 순서로 검산한다.
- 자료의 개수와 편차의 개수가 같은지 센다.
- 편차를 모두 더했을 때 0이 되는지 확인한다.
- 편차 제곱은 음수가 될 수 없다는 점을 확인한다.
- 분산이 각 편차 제곱의 평균으로 계산되었는지 다시 대입한다.
- 평균에서 멀리 떨어진 자료의 분산이 더 작게 나오지 않았는지 비교한다.
A자료에서 편차 제곱의 합이 40이므로 5개로 나누면 8이다. 반대로 B자료는 합이 10이어서 분산이 2이다. 학생이 분산을 40 또는 10으로 적었다면 합과 평균을 구분하지 못한 것이므로, 계산표의 마지막 칸에 “제곱한 편차의 평균”이라고 적어 두고 수정한다.
숫자를 바꾼 문제에서도 첫 행동을 유지하는가
다음 시간에는 자료를 조금 바꾸어 제시한다.
C자료: 4, 8, 10, 12, 16
D자료: 7, 9, 10, 11, 13
두 자료의 평균은 모두 10이다. 학생이 앞 문제의 분산 8과 2를 기억해 적는다면 정답을 맞힐 수 없다. 이번에는 먼저 평균을 구하고, 각 값의 편차를 직접 다시 작성해야 한다. C자료의 편차 제곱은 36, 4, 0, 4, 36이므로 분산은 80÷5=16이다. D자료의 편차 제곱은 9, 1, 0, 1, 9이므로 분산은 20÷5=4이다. C자료의 산포가 더 크다는 결론은 같지만, 수치는 달라졌다.
학생이 도움 없이 “평균이 같으므로 편차를 비교할 수 있고, 편차의 합은 상쇄되므로 제곱한 뒤 평균을 내야 한다”고 말한 뒤 표를 완성하면 독립 적용으로 본다. 단순히 분산의 숫자를 맞힌 것이 아니라, 자료가 바뀌어도 필요한 첫 행동과 비교 근거를 다시 꺼냈는지가 기준이다.
생활 리듬에 맞춘 산포도 풀이 점검
인계동에서는 인계선경아파트나 인계동파밀리에아파트처럼 주거지에서 이동하는 거리와 귀가 시간이 학생마다 다를 수 있다. 따라서 같은 팔달구 안의 동성중학교, 매향중학교, 삼일중학교, 수원제일중학교, 수원중학교를 참고하더라도 이를 인계동 소재 학교라고 단정할 수는 없다. 학교 자료와 생활권 자료를 구분해 보면서, 이동 시간이 긴 학생은 수업 중 계산표 작성과 검산까지 마치고 짧은 시간에 복습할 수 있도록 하고, 귀가 후 시간이 비교적 일정한 학생은 새 자료를 직접 분석하는 방식으로 확인한다.
산포도 학습에서 확인할 변화는 문제 수가 아니라 풀이 기록에 나타난다. 평균만 보고 결론을 내리던 학생이 자료의 개수, 편차, 편차 제곱, 분산을 차례로 표시하고, 마지막에 “분산이 클수록 평균에서 더 넓게 흩어져 있다”고 근거를 붙인다면 새로운 자료에서도 비교를 완성할 수 있다.