인계동중2수학과외, 여사건에서 무엇을 빼는지 설명하는 수량 관계 훈련
확률 문제에서 답을 맞혔다는 사실만으로 풀이가 끝나지는 않는다. 특히 여사건을 이용한 문제는 1에서 무엇을 빼었는가
를 말하지 못하면 숫자만 외운 풀이가 되기 쉽다. 인계동중2수학과외에서는 답지를 덮은 뒤 식을 다시 쓰고, 그 식이 나타내는 사건을 문장으로 설명하는 점검을 중심에 둔다.
1에서 빼는 대상이 사라지는 순간
예를 들어 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있을 때, 한 개를 뽑아 빨간 공이 아닐 확률을 구한다고 하자. 전체 경우의 수는 5이고 빨간 공이 나올 확률은 3/5이므로 빨간 공이 아닐 확률은
1 - 3/5 = 2/5
이다. 여기서 1은 전체 확률이고, 3/5는 ‘빨간 공이 나오는 사건’이다. 따라서 1에서 빼는 것은 단순한 숫자 3/5가 아니라 빨간 공이 나오는 사건의 확률이다. 학생이 이 관계를 설명하지 못하면 숫자와 사건의 연결이 끊어진 상태로 볼 수 있다.
인계동 생활 리듬을 반영한 점검 방식
인계동에는 인계선경아파트와 인계동파밀리에아파트 같은 주거지가 확인되지만, 제공된 자료에서 인계동 소재 중학교 주소는 확인되지 않았다. 같은 팔달구의 참고 학교로는 동성중학교, 매향중학교, 삼일중학교, 수원제일중학교, 수원중학교가 있다. 이 학교들을 인계동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생의 통학 거리와 귀가 시간을 먼저 살핀다.
같은 주간에 시험 범위가 넓어지면 어떤 학생은 귀가 직후 40분을 확보할 수 있고, 다른 학생은 이동과 식사 뒤 짧은 시간만 남는다. 그래서 처음부터 확률 전 범위를 다시 시작하지 않는다. 현재 막히는 여사건 문항 하나를 정하고, 그 안에서 전체 경우의 수와 반대 사건을 확인한 뒤 독립 풀이로 넘어간다.
답을 본 뒤 이해했다고 착각하는 장면
학생은 다음 문제의 답을 보고 고개를 끄덕였다.
주사위 한 개를 한 번 던질 때 4보다 큰 눈이 나올 확률을 구하여라.
4보다 큰 눈은 5, 6이므로 확률은 2/6=1/3이다. 그런데 답을 가린 뒤 ‘4 이하가 나올 확률’을 여사건으로 구하라고 하자 학생은 1-4/6을 쓰면서도 4/6이 무엇을 뜻하는지 설명하지 못했다. 또 ‘짝수가 나오지 않을 확률’을 묻자 1-3/6 대신 1-2/6을 적었다. 짝수인 2, 4, 6을 세지 않고 홀수의 개수를 빼야 한다고 생각했기 때문이다.
이 장면은 계산 실수라기보다 사건 설정 오류에 가깝다. 학생은 여사건 공식의 모양은 기억했지만, 원래 사건과 여사건을 구별하지 못했다.
식보다 먼저 사건 이름 붙이기
- 문제에서 구하려는 사건에 밑줄을 긋는다.
- ‘~이 아닌 사건’인지 확인하고, 반대 사건을 말로 적는다.
- 전체 경우의 수를 먼저 세고, 원래 사건의 경우 수를 따로 표시한다.
- 1-P(A)를 쓸 때 A가 무엇인지 괄호 옆에 문장으로 적는다.
- 분수 계산 뒤에는 원래 사건과 여사건의 경우 수를 더해 전체 경우 수가 되는지 확인한다.
예를 들어 주사위에서 ‘3의 배수가 나오지 않을 확률’을 묻는다면 원래 사건을 ‘3의 배수가 나오는 사건’으로 정한다. 3과 6, 두 가지이므로
1 - 2/6 = 4/6 = 2/3
이다. 이때 1에서 뺀 2/6은 3의 배수가 나올 확률이며, 남은 4/6은 1, 2, 4, 5가 나올 확률이다. 학생이 숫자뿐 아니라 이 대응을 말하도록 훈련한다.
표가 붙은 문제에서도 분모부터 고정하기
표에 색깔별 공의 수가 제시되거나 두 번의 추첨 결과가 함께 나오는 문제에서는 전체 경우의 수가 달라질 수 있다. 예를 들어 빨간 공 2개, 파란 공 3개 중 한 개를 뽑는 상황에서 ‘파란 공이 나오지 않을 확률’은 1-3/5가 아니라, 파란 공의 여사건인 빨간 공의 확률을 직접 세어 2/5로 확인할 수 있다.
두 사건을 연속으로 다루는 문제라면 한 번의 추첨인지, 다시 넣고 뽑는지 조건을 확인해야 한다. 조건이 제시되지 않은 문제를 임의로 복원하지 않고, 주어진 정보만으로 전체 경우를 정한다. 여사건을 쓸 수 있는지 판단한 뒤에도 분모가 같은지 먼저 확인한다.
새 숫자와 새 표현으로 독립 검증
같은 문제를 다시 맞히는 것은 검증으로 충분하지 않다. 다음 시간에는 숫자와 표현을 바꾼다.
상자에 흰 공 4개와 검은 공 1개가 있을 때, 흰 공이 나오지 않을 확률을 구하여라.
학생은 ‘흰 공이 나오지 않는다’의 여사건이 ‘흰 공이 나온다’임을 적고 1-4/5=1/5를 구해야 한다. 이어서 주사위 두 개를 던질 때 ‘합이 7이 나오지 않을 확률’을 제시하고, 전체 36가지 중 합이 7인 경우가 6가지이므로 1-6/36=5/6임을 확인한다. 숫자뿐 아니라 표의 배열, 사건의 표현, 시간 제한을 바꾸어도 원래 사건과 여사건을 정확히 설명하는지 본다.
답을 가리고 “1에서 무엇을 뺐지?”라는 질문에 사건 이름으로 답할 수 있으면, 공식 암기에서 수량 관계 이해로 넘어가는 과정이 보인다.
인계동중2수학과외의 개별 기록
수업에서는 정답률만 기록하지 않는다. ‘원래 사건을 잘못 정함’, ‘전체 경우의 수를 빠뜨림’, ‘여사건은 맞지만 분모를 바꿈’, ‘식은 맞으나 설명 근거가 없음’처럼 막힌 단계를 구분한다. 학생의 귀가 시간과 주간 일정에 맞춰 짧은 확인 문제를 배치하고, 일주일 뒤에도 같은 유형에서 사건을 혼동하는 문항만 다시 다룬다.
자주 묻는 질문
여사건은 언제나 1에서 빼면 되나요?
원래 사건과 여사건이 전체 경우를 빠짐없이 나누는 관계인지 확인해야 한다. 사건이 무엇인지 불분명하면 먼저 경우를 직접 세어 본다.
답을 맞히면 설명까지 꼭 해야 하나요?
중2 확률에서는 식의 의미를 서술하는 문제가 나올 수 있다. ‘1은 전체 확률, 3/5는 빨간 공이 나올 확률’처럼 각 수의 뜻을 말할 수 있어야 새 조건에서도 적용할 수 있다.
중1 내용을 전부 다시 해야 하나요?
아니다. 분수 계산이나 경우의 수 세기처럼 현재 여사건 풀이를 막는 부분만 짧게 확인한 뒤 곧바로 중2 문제로 돌아온다.