파주 고3수학과외: 두 공간 직선의 방향과 위치를 끝까지 확인하기
야당동·목동동·금촌동·교하동·동패동 등 파주 생활권에서는 학교와 집 사이 이동, 과제, 시험 준비가 겹치며 풀이를 빠르게 끝내려는 습관이 생기기 쉽다. 파주여자고등학교, 파주고등학교, 지산고등학교 등 학교별 상황은 다르지만, 공간도형 문제에서는 계산 속도보다 후보값이 실제 조건을 만족하는지 확인하는 과정이 중요하다.
교점을 구했다고 생각했지만 실제로는 꼬인 위치
학생은 다음 두 직선을 평면에서 만나는 직선처럼 처리했다.
직선 l: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(1, −1, 2)
직선 m: (x, y, z) = (0, 1, 3) + s(2, 1, −1)
좌표를 비교하면
1 + t = 2s, 2 − t = 1 + s, 2t = 3 − s
이다. 그런데 학생은 마지막 식의 부호를 잘못 읽어 2t = 3 + s로 적었다. 첫 두 식에서 얻은 t = 1/3, s = 2/3을 이 잘못된 식에 넣고도 계산을 이어 갔다.
학생의 오답: 2t = 3 + s → 2/3 = 11/3
이 식은 부호를 반대로 쓴 오답이다. 원래 z좌표는 첫 직선에서 2t, 둘째 직선에서 3 − s이므로 반드시 2t = 3 − s여야 한다. 하지만 올바른 식을 사용해도 t = 1/3, s = 2/3일 때
2t = 2/3, 3 − s = 7/3
로 서로 다르다. 따라서 두 직선은 교차하지 않는다. 방향벡터의 외적은
(1, −1, 2) × (2, 1, −1) = (−1, 5, 3)
으로 영벡터가 아니며, 두 직선의 위치 관계는 평행도 아니다. 교점 후보가 끝까지 세 번째 좌표 조건을 만족하지 못하므로 두 직선은 꼬인 위치에 있다.
별표 검산으로 후보값의 자격을 확인하기
풀이 중 학생은 해설을 찾기 전에 틀린 줄에 별표를 표시하고 다음 순서로 다시 점검했다.
- 부호 확인: 두 직선의 z좌표를 각각 다시 써서 2t와 3 − s임을 확인한다.
- 변수 관계 확인: t와 s는 같은 직선의 매개변수가 아니므로 t = s라고 둘 수 없다.
- 식 수정: 2t = 3 + s를 2t = 3 − s로 고친다.
- 대입 검산: t = 1/3, s = 2/3을 세 좌표식에 모두 대입한다.
- 위치 판정: 한 좌표라도 어긋나면 교점이 아니며, 방향벡터의 비례 여부까지 확인한다.
추가로 두 직선 사이의 거리를 확인하면, 두 직선 위의 점 A = (1, 2, 0), B = (0, 1, 3)에 대해
d = |(B − A)·(u × v)| / |u × v|
= |(−1, −1, 3)·(−1, 5, 3)| / √35
= 5/√35 = √35/7
이다. 거리가 0이 아니므로 교차한다는 결론을 낼 수 없다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 두 직선의 방향벡터를
u = (1, 2, −2), v = (2, −1, 0)
로 두고, 한 직선 위의 점을 A = (1, 0, 1), 다른 직선 위의 점을 B = (0, 2, 0)이라 하자. 이번에는
u·v = 1·2 + 2·(−1) + (−2)·0 = 0
이므로 방향은 서로 수직이다. 그러나 방향이 수직이라는 사실만으로 두 직선이 만난다고 할 수는 없다. 실제로
u × v = (−2, −4, −5)
(B − A)·(u × v) = (−1, 2, −1)·(−2, −4, −5) = −1
이므로 세 벡터가 같은 평면에 있지 않다. 따라서 두 직선은 방향벡터는 수직이지만 서로 만나지 않는 꼬인 위치다. 방향 조건과 교점 조건을 분리해 확인해야 한다는 점을 새 숫자와 새 벡터로 검증한 것이다.