도함수 계산에서 계수와 지수를 분리해 읽기
파주고2수학과외 수업에서는 야당동·동패동처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 환경에서, 풀이를 외운 순서대로 반복하는지 새로운 식의 구조를 읽는지 구분한다. 도함수는 식의 모양이 조금만 바뀌어도 미분 규칙을 다시 선택해야 한다.
x3을 3x3으로 적은 순간
다음 함수를 미분한다고 하자.
f(x)=4x3-5x2+2x-7
풀이 흔적에 x3→3x3이라고 적었다면 지수 3을 계수로 옮기는 과정에서 멈춘 것이다. 거듭제곱 미분은
d/dx(xn)=nxn-1
이므로 x3의 도함수는 3x2이다. 따라서
f′(x)=12x2-10x+2
가 된다. 지수는 앞으로 하나 줄고, 앞의 계수와 곱해진다는 두 변화가 동시에 일어난다. 상수 -7의 도함수는 0이며, 2x의 도함수는 2이다.
직전 예제의 모양을 버리고 식의 항부터 분류하기
계수와 부호가 달라진 문항에서 바로 계산하지 말고 식 옆에 다음처럼 표시한다.
−3x4 | +7x2 | −6x | +9
각 항을 따로 미분하면
(−3x4)′=−12x3, (7x2)′=14x, (−6x)′=−6, 9′=0
따라서 결과는 −12x3+14x−6이다. 풀이 중 x3→3x3이라는 줄이 보이면 그 줄만 남겨 두지 말고, 옆에 “계수 곱하기, 지수 1 감소”를 적은 뒤 해당 항을 다시 계산한다.
두 조건을 바꾼 식에서 풀이 순서를 다시 세우는가
마지막으로 계수와 표현을 함께 바꾼 다음 문제를 확인한다.
g(x)=−2x5+3x3−x2+8
먼저 항을 분리하고, 각 항에 미분 규칙을 적용한다.
g′(x)=−10x4+9x2−2x
이때 이전 식의 계수나 지수를 그대로 끌어오지 않고, 새 식에서 항의 계수·지수를 다시 읽었는지가 기준이다. 특히 x3→3x3을 반복하지 않고 3x2로 바꾸었다면 변형된 도함수 계산에도 규칙이 연결된 것이다.