중원구 고3 수학과외, 모평균 추정에서 최초 오류 찾기
금광동과 은행동, 여수동의 학생들은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 개념 복습과 오답 점검 시간을 나누어야 한다. 성일고등학교, 숭신여자고등학교, 동광고등학교 등 학교가 서로 다르므로 특정 학교의 학습 일정이나 난도를 다른 학생에게 그대로 일반화하지 않고, 현재 수업 범위에 맞춰 표본조건과 신뢰구간 문제를 점검했다.
표준편차와 표준오차를 혼동한 첫 줄
한 학생이 모집단의 표준편차가 σ=12인 모집단에서 크기 n=36인 표본을 추출하고, 표본평균이 68일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구하는 문제를 풀었다. 학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
68 ± 1.96×12 = 68 ± 23.52
이 식은 틀린 풀이다. 12는 개별 자료의 흩어진 정도를 나타내는 모집단 표준편차이고, 표본평균의 변동을 나타내는 표준오차는 σ/√n이다. 따라서 이 문제에서 공식이 적용되는 최초의 오류는 표준오차 대신 σ를 그대로 사용한 순간이다.
두 줄 비교표로 공식 선택을 고친 과정
- 원식: 68 ± 1.96×12
- 수정식: 68 ± 1.96×(12/√36)
학생은 먼저 틀린 줄에 표시한 뒤, 신뢰구간의 대상이 개별 관측값이 아니라 표본평균임을 확인했다. 표본평균의 표준편차가 σ/√n이라는 변수 관계를 다시 적고, 식을 다음과 같이 수정했다.
표준오차 = 12/√36 = 2
68 ± 1.96×2 = 68 ± 3.92
따라서 95% 신뢰구간은 (64.08, 71.92)이다. 수정 뒤에는 끝점의 평균을 계산해 (64.08+71.92)/2=68인지 역계산하고, 구간의 반폭이 3.92인지 확인했다. 처음 오답의 반폭 23.52는 표본 크기가 36으로 늘어났는데도 줄어들지 않아 표본평균의 변동이라는 조건과 맞지 않는다는 점도 그래프로 비교했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않기 위해 모집단 표준편차를 σ=15, 표본 크기를 n=25, 표본평균을 72로 바꾸고 90% 신뢰구간을 다시 구했다. 90% 신뢰수는 1.645이므로 표준오차는
15/√25 = 3
이고, 신뢰구간은
72 ± 1.645×3 = 72 ± 4.935
즉 (67.065, 76.935)이다. 학생은 이번에는 첫 줄에 표본평균의 표준오차를 먼저 적고, 구간의 중점이 72인지 역계산했다. 또한 표본 크기를 25에서 100으로 바꾸면 표준오차가 15/10=1.5로 감소하는지 확인해, σ와 표준오차를 다시 혼동하지 않는지 독립적으로 검증했다.