중원구고2수학과외

중원구고2수학과외: 두 항으로 등비수열의 첫째항과 공비를 정하는 계산 점검

성일고등학교, 숭신여자고등학교, 동광고등학교 등 중원구의 고등학교에서는 시험 범위와 수행평가 일정이 겹칠 때 풀이 과정을 짧게 정리하려는 경우가 많다. 금광동·은행동·여수동에서 평일 귀가 시간이 다른 만큼, 등비수열 문제도 답만 고치는 방식보다 계산이 틀어진 지점을 바로 찾아 수정하는 연습이 필요하다.

a₂와 a₄에서 r을 바로 나누면 안 되는 이유

등비수열의 일반항은

a_n = a₁r^n-1

이다. 따라서 a₂와 a₄가 주어지면 두 항의 번호 차이가 2이므로

a₄ = a₂r²

라는 관계를 먼저 세워야 한다.

예를 들어 a₂ = 4, a₄ = 16일 때 답안에 다음과 같이 적었다고 하자.

r = 16 ÷ 4 = 4

이 계산은 항번호 차이를 반영하지 않은 오답이다. a₂에서 a₄까지는 공비를 두 번 곱하므로

16 = 4r² → r² = 4 → r = 2 또는 r = -2

가 되어야 한다. 실제로 r = 4라면 a₄ = a₂·4² = 64가 되어 주어진 16과 맞지 않는다.

마지막 값이 아니라 오류가 시작된 줄을 다시 잇기

이 장면에서 답만 4에서 2로 바꾸면 첫째항 계산과 전체 검산이 빠진다. 오류가 발생한 줄인 a₄ = a₂r²부터 다시 이어서 다음처럼 적는다.

1. 항번호 차이 확인: 4 - 2 = 2
2. 비율식 작성: a₄ ÷ a₂ = r²
3. 공비 결정: 16 ÷ 4 = 4이므로 r = ±2
4. 첫째항 계산: a₂ = a₁r

r = 2이면 a₁ = 4 ÷ 2 = 2이고, r = -2이면 a₁ = 4 ÷ (-2) = -2이다. 따라서 조건만으로 가능한 수열은

(a₁, r) = (2, 2) 또는 (-2, -2)

이다. 두 경우 모두 a₂ = 4, a₄ = 16을 만족하므로 음의 공비를 임의로 제외해서도 안 된다.

부호와 항번호를 바꾼 검산

새 조건으로 a₂ = -6, a₅ = 48을 제시했을 때도 먼저 항번호 차이를 적는다.

5 - 2 = 3

a₅ ÷ a₂ = r³

48 ÷ (-6) = -8 = r³ → r = -2

이제 a₂ = a₁r에 대입하면

-6 = a₁(-2) → a₁ = 3

이다. 마지막으로 a₅ = 3(-2)⁴ = 48을 다시 확인한다. 숫자와 부호가 달라져도 항번호 차이, 공비의 거듭제곱, 첫째항 계산을 답안에 먼저 남겼다면 같은 나눗셈 오류를 피할 수 있다.