은행동 고3 수학과외에서 다루는 신뢰구간 해석
은행동현대아파트 등 생활권에서 통학하는 고3 학생은 귀가 시각과 과제량을 함께 고려해 시험 준비 순서를 세우는 것이 중요하다. 해당 지역명 주소의 고등학교는 확인되지 않으므로, 성일고등학교·숭신여자고등학교·동광고등학교 등 같은 중원구의 통학권을 참고해 학습 상황을 살핀다.
평균과 오차한계를 뒤바꾼 풀이
한 모집단의 평균을 추정하기 위해 표본평균이 72점, 모집단의 표준편차가 10점, 표본의 크기가 25인 상황을 살펴보자. 모평균의 95% 신뢰구간을 구하면 표준정규분포의 임계값은 1.96이므로 오차한계는
1.96 × 10 ÷ √25 = 1.96 × 2 = 3.92
이다. 학생은 계산 중 다음과 같이 적었다.
신뢰구간 = [3.92 - 72, 3.92 + 72] = [-68.08, 75.92]
이 식은 오답이다. 신뢰구간은 표본평균을 중심으로 오차한계만큼 양쪽으로 이동해야 하므로 [오차한계-평균, 오차한계+평균]이 아니라 [평균-오차한계, 평균+오차한계]로 써야 한다. 따라서 정확한 구간은
[72 - 3.92, 72 + 3.92] = [68.08, 75.92]
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 연결하기
학생은 오답 줄에서 평균 72와 오차한계 3.92의 위치를 색칠해 구분했다. 이어서 ‘무엇을 중심으로 구간을 만드는가’를 확인하고, 중심이 표본평균인지 오차한계인지 말로 설명하게 했다.
- 모집단: 전체 학생의 점수
- 표본: 조사한 25명의 점수
- 중심: 표본평균 72
- 오차한계: 3.92
수정한 식에 다시 대입해 72-68.08=3.92, 75.92-72=3.92인지 확인했다. 또 평균 72가 구간의 정확한 가운데인지 계산하여 양 끝까지의 거리가 같은 것도 검산했다. 이 과정을 통해 계산 결과를 먼저 확인하기보다 변수의 역할과 순서를 먼저 점검하도록 연습했다.
신뢰수준과 표본크기를 바꾼 독립 검증
이번에는 표본평균이 64점, 모집단 표준편차가 12점, 표본크기가 36이고 99% 신뢰구간을 구한다고 하자. 99% 신뢰수준의 임계값을 2.576으로 두면 오차한계는
2.576 × 12 ÷ √36 = 2.576 × 2 = 5.152
따라서 신뢰구간은
[64 - 5.152, 64 + 5.152] = [58.848, 69.152]
이다. 학생은 해설을 보지 않고 새 조건을 다시 풀면서 평균 64를 중심에 놓았는지, 99% 신뢰수준으로 인해 오차한계가 커졌는지 확인했다. 또한 58.848 < 64 < 69.152인지 점검하여 구간의 순서와 중심을 스스로 검증했다.