은행동고2수학과외

은행동 고2수학과외: 등비중항은 산술평균보다 조건 판별이 먼저입니다

“2, x, 8이 등비수열을 이루므로 x=5.”

은행동현대아파트 생활권에서 귀가 후 학교 프린트의 수열 문제를 풀던 학생이 남긴 첫 줄이다. 그러나 5는 2와 8의 산술평균일 뿐, 등비중항이라고 볼 근거는 없다. 등비수열에서는 가운데 항과 양끝 항의 관계를 먼저 확인해야 한다.

2, x, 8에서 산술평균을 쓰면 생기는 오류

세 항이 차례로 등비수열을 이룬다면 공비를 r이라 할 때

제2항 = 제1항 × r, 제3항 = 제2항 × r

이므로

x=2r, 8=xr

이다. 따라서 가운데 항을 제곱하면

x²=(2r)(xr)=2·8=16

이 되어 x=±4를 얻는다. 실제로 x=4이면 공비는 2이고, 2, 4, 8은 등비수열이다. x=-4이면 공비는 -2이고, 2, -4, 8 역시 등비수열이다.

반면 x=5로 두면 공비가 첫 구간에서는 5/2, 다음 구간에서는 8/5가 되어 서로 다르다. 따라서 5는 등비중항이 아니다.

부호와 존재 범위를 먼저 적는 습관

등비중항의 관계는 일반적으로 연속한 세 항을 a, x, b로 놓았을 때

x²=ab

이다. 실수 범위에서 x가 존재하려면 ab≥0이어야 한다. 양끝 항이 모두 양수이면 x=±√ab가 가능하지만, 문제에서 양의 등비수열이라고 조건을 주었다면 양의 값만 선택하여 x=√ab로 정한다.

또한 공비를 정의하려면 앞 항이 0이 아닌지 확인해야 한다. 예를 들어 a=3, b=12라면

x²=36, x=6 또는 x=-6

이다. 양의 항으로 이루어진 수열이라는 조건이 있을 때만 x=6으로 좁혀진다.

학생의 풀이가 멈춘 지점에서 다시 이어가기

산술평균 5를 적은 직후에는 풀이 전체를 지우지 않고, 그 줄에서 등비 조건으로 바꿔 쓴다.

잘못된 줄: x=(2+8)/2=5

수정할 줄: x²=2·8=16 → x=±4

그 다음 문제의 조건에 따라 양수 조건이 있으면 x=4만 남기고, 별도 조건이 없으면 두 값을 모두 제시한다. 이처럼 오류가 시작된 위치에서 ‘평균’이라는 판단을 ‘제곱 관계’로 교체해야 새로운 수에도 적용할 수 있다.

문자를 넣었을 때도 x²=ab를 설명할 수 있는가

독립 확인에서는 수치를 바꾸지 않고 양끝 항을 문자로 둔다. 양의 실수 p, q가 주어지고 p, x, q가 양의 등비수열의 연속한 세 항이라면

x²=pq

이며, 양수 조건 때문에

x=√pq

이다. 반대로 양의 항 조건이 없다면 x=-√pq도 대수적으로 가능하므로, 문제의 성립 범위를 확인하지 않고 하나의 값만 쓰면 안 된다.

은행동에서 학교 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때도 등비중항 문제의 첫 줄에 ‘연속한 세 항’, ‘양의 항인지’, ‘x²=앞항×뒤항’을 직접 남겼는지 확인하면 된다. 숫자가 2와 8에서 p와 q로 바뀌어도 이 조건을 먼저 세우면 산술평균으로 잘못 출발하지 않는다.