천천동고3수학과외

천천동 고3 수학과외에서 쌍곡선의 가지 방향부터 다시 확인한 사례

천천동의 천천고등학교·영생고등학교·경기체육고등학교 학생을 지도할 때는 귀가 시각과 과제량에 맞춰 풀이 과정을 짧게 나누어 점검한다. 같은 장안구의 동원동우고등학교와 수성고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 학생의 시험 준비에서는 학교명보다 오답이 발생한 중간식을 먼저 확인했다.

처음 틀린 줄은 공식 선택이었다

학생은 두 초점이 F₁(-3,0), F₂(3,0)이고 두 거리의 차가 4인 쌍곡선을 다음처럼 정리했다.

|PF₁|-|PF₂|=4,   그런데 오른쪽 가지이므로 |PF₂|-|PF₁|=4

이 식은 오답이다. 오른쪽 가지의 점에서는 F₁까지의 거리가 F₂까지의 거리보다 크므로, 오른쪽 가지의 정의는 |PF₁|-|PF₂|=4이다. 두 가지의 방향을 구분하지 않고 초점의 순서를 바꾼 것이 최초의 오류였다.

예를 들어 오른쪽 꼭짓점 P(2,0)을 대입하면

|PF₁|=5,   |PF₂|=1,   5-1=4

이므로 P는 오른쪽 가지에 있다. 반대로 왼쪽 꼭짓점 P(-2,0)에서는 |PF₁|=1, |PF₂|=5이므로 |PF₂|-|PF₁|=4가 된다.

정의에서 좌표식까지 연결하기

학생은 중간식 옆에 사용 규칙을 적고 다시 계산했다.

• 오른쪽 가지: |PF₁|-|PF₂|=2a
• 왼쪽 가지: |PF₂|-|PF₁|=2a
• 초점 거리 c=3, a=2이므로 b²=c²-a²=9-4=5

따라서 쌍곡선의 좌표식은

x²/4-y²/5=1

이다. 오른쪽 꼭짓점 (2,0)을 식에 넣으면 1=1이고, 점 P의 위치벡터를 초점 기준으로 다시 합성하면

F₁P=(5,0),   PF₂=(-1,0),   F₁P+PF₂=(4,0)

가 되어 두 벡터의 성분을 합성했을 때 초점 F₁에서 F₂로 향하는 이동량과 일치하는지 확인할 수 있다. 이 과정을 통해 단순히 해설의 결론을 베끼지 않고, 초점의 순서와 가지 방향을 함께 검산했다.

평행이동한 쌍곡선으로 독립 검증

같은 공식을 반복하지 않기 위해 중심을 (1,-2)로 옮기고 초점을 F₁(1,-7), F₂(1,3)으로 바꾼 문제를 제시했다. 두 초점 사이 거리는 10이므로 c=5, 두 거리의 차를 6으로 정하면 a=3이다.

이번에는 위쪽 가지가 F₂ 방향이므로 위쪽 꼭짓점 P(1,1)에서

|PF₁|-|PF₂|=8-2=6

을 확인해야 한다. 따라서 식은

(y+2)²/9-(x-1)²/16=1

이고, P(1,1)을 대입하면 9/9=1이다. 학생은 아래쪽 가지일 때 거리의 순서가 반대가 된다는 조건까지 기록한 뒤, 경계값과 평행이동을 바꾼 새 문제에서도 가지 방향을 먼저 확인하고 식을 세우는 방식으로 마무리했다.