천천동고2수학과외에서 추적한 시그마 계산의 한 줄
천천동의 고2 수학 학습에서는 귀가 후 과제량과 지필평가 준비 순서를 함께 살피되, 이번에는 수열의 합에서 실제로 답이 바뀐 계산 줄에 집중했다. 문제는 다음과 같았다.
Σ(2k+1)에서 사라진 상수항
학생이 ∑k=15(2k+1)을 계산하며 남긴 식은 다음과 같았다.
∑(2k+1)=2∑k+1=2×15+1=31
오류는 합 공식이 아니라 합의 선형성을 적용한 두 번째 등식에서 시작된다. 상수 1도 k=1부터 5까지 다섯 번 더해지므로, 정확한 분리는
∑k=15(2k+1)=2∑k=15k+∑k=151
이다. 따라서 2×(5×6÷2)+5=30+5=35가 정답이다. ∑1을 1로 남긴 것이 답을 4만큼 바꿨다.
틀린 줄부터 바로 잇는 수정
이 경우 풀이 전체를 처음부터 다시 쓰기보다 오류가 발생한 줄에 표시를 남긴다. ∑1을 지우지 말고 ∑k=151=5로 바꾼 뒤 계산을 이어 간다. 합의 선형성은
∑(ak+bk)=∑ak+∑bk
이며, 상수 c에 대해서는 항의 개수만큼 ∑k=1nc=nc가 된다는 점을 같은 줄에 적는다. 이렇게 하면 공식을 다시 외우는 데 머물지 않고, 정답을 바꾼 계산 위치를 확인할 수 있다.
새 식에서 상수항의 개수를 확인하는가
이후에는 오답 표시 없이 다음 식을 제시한다.
∑k=26(3k-2)
여기서 ∑k=2+3+4+5+6=20이고, 항의 개수는 5개이므로
∑(3k-2)=3∑k-∑2=3×20-2×5=50
이다. 시작 인덱스가 2로 바뀌어도 상수항을 한 번만 쓰지 않고 항의 개수만큼 분리했다면 합의 선형성이 새 조건에서도 유지된 것이다.
천천동 내 천천고등학교·영생고등학교·경기체육고등학교와 장안구의 참고 학교는 서로 다른 생활권 정보이므로 학교별 난도를 임의로 단정하지 않고, 귀가 시각에 맞춰 이처럼 실제 풀이 줄과 과제 점검 순서를 확인하는 방식으로 학습을 기록한다.