식사동 고3수학과외, 넓이 계산에서 최초로 틀린 지점 찾기
식사동빌라단지나 위시티5단지처럼 생활 동선이 다른 학생은 문제를 푸는 시간과 답안을 점검하는 방식도 달라질 수 있습니다. 식사동의 저현고등학교·고양국제고등학교 학생뿐 아니라 같은 일산동구의 안곡고등학교, 저동고등학교, 백마고등학교를 참고하는 학생도 계산 결과보다 조건과 구간을 먼저 확인하는 연습이 필요합니다.
정답 표시가 아니라 부호 판단부터 확인하기
학생은 다음 함수와 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 구한 뒤 답만 다시 표시했습니다.
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad 0\le x\le4 \]
교점은 \(x=1,3\)이므로 구간별 부호는 다음과 같습니다.
- \(0\le x\le1\): \(f(x)\ge0\)
- \(1\le x\le3\): \(f(x)\le0\)
- \(3\le x\le4\): \(f(x)\ge0\)
학생의 오답: \(\displaystyle \int_0^4(x^2-4x+3)\,dx=\frac43\)
이 식은 부호가 음수가 되는 \(1\le x\le3\) 구간을 그대로 더한 오답입니다. 정적분은 대수적 넓이이므로 아래로 내려간 부분이 음수로 계산되지만, 문제에서 요구한 전체 넓이는 절댓값을 취해야 합니다.
틀린 줄에서 조건을 다시 연결하는 과정
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 원 안에 핵심 계수와 교점 \(1,3\)을 표시했습니다. 이후 \(f(x)\)의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 식을 수정했습니다.
\[ \begin{aligned} S &=\int_0^1f(x)\,dx-\int_1^3f(x)\,dx+\int_3^4f(x)\,dx\\ &=\frac43-\left(-\frac43\right)+\frac43\\ &=4 \end{aligned} \]
원래 조건인 \(0\le x\le4\) 밖의 교점은 없으므로 제외할 값도 없습니다. 마지막으로 그래프가 \(x\)축 아래에 있는 가운데 구간을 다시 확인하고, 각 구간 넓이가 모두 양수로 합쳐지는지 역검산했습니다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 다음 문제에 적용했습니다.
\[ g(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5),\qquad 0\le x\le4 \]
정의역 안의 교점은 \(x=1\)뿐이고, \(1
\[ \begin{aligned} S &=\int_0^1g(x)\,dx-\int_1^4g(x)\,dx\\ &=\frac73-(-1)\\ &=\frac{10}{3} \end{aligned} \]
이번에는 \(x=5\)가 정의역 밖이므로 구간을 나누는 기준으로 사용하지 않았습니다. 교점의 위치, 함수의 부호, 절댓값이 필요한 구간을 차례로 확인한 뒤 넓이를 계산해야 같은 유형의 오답을 줄일 수 있습니다.