식사동고1수학과외, 이웃하지 않는 배열을 여집합으로 세기
식사동빌라단지나 위시티5단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 경우의 수를 정리할 때는 계산보다 배열의 조건을 먼저 고정해야 한다. 특히 “두 사람이 이웃하지 않는다”는 조건은 가능한 배열을 하나씩 나열하기보다 전체 배열에서 두 사람이 붙어 있는 배열을 빼는 방식이 효율적이다.
붙어 있는 두 사람을 하나의 묶음으로 바꾸기
사람 6명 A, B, C, D, E, F를 한 줄로 세울 때 A와 B가 이웃하지 않는 경우를 구해 보자. 전체 배열은
6!
이다. 이제 A와 B가 이웃하는 경우를 세면 된다. A와 B를 하나의 묶음 (AB) 또는 (BA)로 생각하면, 묶음 1개와 나머지 네 사람을 배열하는 방법은 5!가지이다. 묶음 내부에서 A, B의 순서를 바꾸는 방법이 2!가지이므로 이웃하는 배열은
5! × 2! = 240
가지이다. 따라서 이웃하지 않는 배열은
6! − 5! × 2! = 720 − 240 = 480
가지이다.
학생의 풀이에서 사라진 2!
실제 풀이에서는 A와 B를 붙여 (AB)라는 한 덩어리로 표시한 뒤, “묶음과 네 사람을 배열하므로 5!”까지만 적는 경우가 있었다. 이 계산은 A가 왼쪽, B가 오른쪽인 경우만 센 것이다. 실제로는 (AB)와 (BA)가 모두 가능하므로 묶음 내부 순서 2!를 곱해야 한다.
이웃하지 않는 배열 = 전체 배열 − 이웃하는 배열
= 6! − (5! × 2!)
이 식의 괄호 안은 “묶음 외부의 배열”과 “묶음 내부의 배열”을 차례로 반영한다. 묶음을 만들었다고 해서 두 사람의 순서가 사라지는 것은 아니다.
빼기 계산을 답안의 근거로 남기는 연습
답만 480이라고 쓰지 않고, 먼저 전체 경우와 제외할 경우를 구분해 적는다.
- 전체 배열: 6!
- A와 B가 이웃하는 배열: 5! × 2!
- A와 B가 이웃하지 않는 배열: 6! − 5! × 2! = 480
이렇게 쓰면 “이웃하지 않는 배열”을 직접 세지 않고, 조건을 위반하는 배열을 전체에서 제거했다는 논리가 드러난다. 다음 줄로 넘어가기 전에 ‘두 사람이 이웃하지 않는 배열을 전체에서 이웃하는 경우 빼기로 구한다’는 판단을 다시 확인하고, 그 뒤에 묶음 내부 순서가 포함되었는지 살핀다.
조건을 바꾼 시간 제한 검산
훈련 문제에서는 사람을 P, Q, R, S, T로 바꾸고, P와 Q가 이웃하지 않는 배열을 계산하게 한다. 전체는 5!, 이웃하는 경우는 두 사람을 묶어 4! × 2!이므로 답은
5! − 4! × 2! = 120 − 48 = 72
이다. 시간 제한을 둔 계산 세트에서는 답의 위치를 먼저 확인한다. 배열을 좌표처럼 기록했다면 첫 번째 자리를 x, 두 번째 자리를 y로 정하고 (x, y)의 순서를 바꾸지 않는다. 예를 들어 P가 첫째, Q가 둘째인 배열과 Q가 첫째, P가 둘째인 배열은 서로 다른 배열이므로 묶음 내부의 2!에 해당한다.
교사의 질문 없이도 전체 배열을 쓴 뒤 이웃하는 경우를 묶음으로 세고, 내부 순서까지 곱한 다음 빼는지 확인한다. 새 조건에서 이 절차와 배열의 위치를 스스로 검산하면 해당 방법을 실제 문제에 적용할 수 있는지 판단할 수 있다.