마두동중2수학과외, 직사각형 긴 문장제에서 구하는 값이 바뀌어도 흔들리지 않게
직사각형 문제는 겉보기에는 가로와 세로를 대입하면 끝날 것처럼 보이지만, 긴 문장제에서는 학생이 구해야 할 대상이 중간에 달라진다. 처음에는 넓이를 묻다가 뒤에서는 둘레나 한 변의 길이를 요구하기도 한다. 이때 앞에서 세운 식을 그대로 이어 쓰면 계산은 맞아도 문제의 요구와 다른 답을 내게 된다.
마두동에서 중2 수학을 지도할 때는 학생의 생활 리듬도 함께 살핀다. 백마중학교, 백신중학교, 정발중학교처럼 마두동에 있는 학교와 통학 동선이 다른 학생은 집에 도착하는 시간과 집중 가능한 시간이 같지 않다. 같은 일산동구의 백석중학교와 안곡중학교는 참고 학교일 뿐 마두동 소재 학교로 단정하지 않는다. 학교나 주거지와의 거리에 따라 짧은 평일 훈련과 주말의 긴 풀이 시간을 다르게 배치한다.
답을 맞혀도 설명하지 못하는 직사각형 풀이
한 학생은 “가로가 세로보다 4cm 길고 넓이가 96㎠인 직사각형의 둘레”를 구하는 문제에서 세로를 x, 가로를 x+4로 두었다. x(x+4)=96까지는 정확했다. 그러나 이차방정식을 풀어 세로가 8cm, 가로가 12cm라는 값을 얻은 뒤 답을 96이라고 적었다. 앞에서 구한 넓이를 마지막 답으로 다시 쓴 것이다.
다른 문제에서는 직사각형 두 개가 닮은 도형으로 제시되었다. 대응점을 먼저 정하지 않은 채 한 도형의 가로와 다른 도형의 세로를 연결해 6:9라는 비를 만들었다. 운 좋게 숫자가 맞아떨어진 문항도 있었지만, “왜 이 두 변을 비교했는가?”라고 묻자 계산 과정만 다시 읽었다. 이는 단순 계산 실수가 아니라 구하는 대상과 대응하는 길이를 구분하지 못한 경우다.
식보다 먼저 문제의 요구를 고정한다
직사각형 문장제를 풀 때 첫 줄에 바로 미지수를 쓰지 않는다. 문장 옆에 ‘구할 것’을 한 단어로 적는다. 넓이인지, 둘레인지, 가로인지, 세로인지 표시한 뒤 조건을 식으로 옮긴다. 위 문제라면 세로를 xcm, 가로를 x+4cm로 놓고 넓이 조건에서 x(x+4)=96을 세운다. 양의 길이만 가능하므로 x=8을 선택하고, 가로는 12cm로 계산한다. 마지막 요구가 둘레이므로 2(8+12)=40cm를 적는다.
풀이 중간에 요구가 바뀌는 문제는 문장을 세 칸으로 나눈다. 첫째 칸에는 주어진 길이와 관계, 둘째 칸에는 먼저 구해야 하는 값, 셋째 칸에는 최종적으로 묻는 값을 기록한다. 답을 쓴 뒤에는 ‘이 수가 문제에서 요구한 대상인가’와 ‘단위가 맞는가’를 각각 확인한다. 넓이는 ㎠, 길이는 cm로 구분한다.
닮은 직사각형에서는 대응점을 먼저 표시한다
닮은 직사각형이 포함된 문항은 꼭짓점의 순서를 먼저 적는다. 한 직사각형을 ABCD, 다른 직사각형을 EFGH라고 하고 대응 순서가 A↔E, B↔F, C↔G, D↔H라면 AB와 EF, BC와 FG를 비교한다. 대응변의 순서를 한 방향으로 유지해 AB:EF=BC:FG처럼 쓴다. 가로와 세로를 임의로 섞지 않는다.
닮음비가 2:3이면 길이비는 2:3이고 넓이비는 4:9이다. 길이를 구하는 문제에서 넓이비를 그대로 사용하지 않도록 식 오른쪽에 ‘길이’ 또는 ‘넓이’를 표시한다. 직사각형의 넓이를 구하는 과정에서도 가로×세로가 실제 도형의 두 변에 해당하는지 확인한다.
정답이 나왔다는 사실보다, 그 식이 어떤 조건에서 나왔고 마지막 수가 무엇을 뜻하는지 말할 수 있는지가 더 중요하다.
시간 제한 안에서의 훈련 기록
시험 직전에는 학원 선행과 학교 현행의 진도 차이가 커져 긴 문제를 읽는 시간이 부족해질 수 있다. 그래서 새 교재를 계속 추가하지 않고, 수행평가 피드백 중 ‘대응변 순서와 최종 요구 확인’ 한 항목만 정해 훈련한다. 처음에는 8분 동안 문제를 읽고 구할 것을 표시하게 한다. 다음에는 6분 안에 미지수, 조건식, 중간값, 최종식을 모두 쓰게 한다.
맞힌 문제도 풀이 시간이 6분을 넘으면 다시 확인 대상으로 남긴다. 학생은 답만 지우지 않고, 대응점 표시와 구할 대상 표시가 있었는지 색깔별로 점검한다. 틀린 유형은 개념 오류, 조건 누락, 대응 오류, 요구 대상 혼동으로 나누어 기록한다. 계산 오류로 한꺼번에 처리하지 않는다.
숫자와 요구를 바꾼 독립 확인
다음 날에는 같은 문제를 다시 풀게 하지 않는다. 가로가 세로보다 5cm 길고 넓이가 84㎠인 직사각형에서 둘레를 구하게 하거나, 넓이는 먼저 구한 뒤 세로를 묻는 방식으로 요구를 바꾼다. 학생이 세로를 x라 두면 x(x+5)=84이고, 양의 해 x=7, 가로 12이므로 둘레는 38cm이다.
닮은 직사각형 문제도 숫자와 대응 순서를 바꾼다. 한 도형의 가로와 다른 도형의 세로가 바로 나란히 제시되지 않도록 배치하고, 길이비와 넓이비를 각각 묻게 한다. 대응점이 바뀌어도 같은 순서로 변을 연결하는지, 넓이비를 길이비로 착각하지 않는지 확인한다. 결과는 새 조건에서 실패한 문항만 다음 훈련 목록에 남긴다.
마두동중2수학과외의 진행 방식
학생별로 평일 학습 가능 시간이 다르므로 긴 문장제 전체를 한 번에 맡기지 않는다. 통학 후 집중 시간이 짧은 학생은 구할 것 표시와 식 세우기만 20분 동안 훈련하고, 시간이 안정적인 학생은 제한 시간 안에 독립 문제까지 진행한다. 학교 프린트의 직사각형 문항에서 조건을 표시한 뒤, 새 숫자와 새 요구를 넣은 문제로 전환한다.
수업에서는 풀이를 대신 설명하지 않고 학생이 ‘이 식은 넓이 조건’, ‘이 값은 최종 둘레’처럼 각 줄의 역할을 말하게 한다. 이후 다음 날 변형 문제를 풀어 전날의 절차가 새로운 문장에서도 재현되는지 확인한다.
자주 묻는 내용
직사각형 문제에서 미지수는 무엇으로 정하나요?
문장에서 직접 알 수 없는 길이 중 하나를 x로 정하고, 다른 길이는 조건에 따라 x+4, 2x처럼 표현한다. 마지막에는 양의 길이인지 확인한다.
넓이를 구한 뒤 둘레를 묻는 문제는 어떻게 구분하나요?
문장마다 구할 대상을 따로 표시한다. 넓이는 가로×세로, 둘레는 2×(가로+세로)이므로 앞에서 구한 넓이를 최종 답으로 쓰지 않는다.
닮은 직사각형에서 가장 먼저 할 일은 무엇인가요?
꼭짓점의 대응 순서를 정하고 대응변을 같은 방향으로 연결한다. 그 뒤 길이비인지 넓이비인지 확인해 비례식을 세운다.