마두동중1수학과외, 맞힌 내각·외각 문제도 근거와 검산으로 다시 보는 법
“내각의 합은 180도니까 180-65=115도예요.” 답은 맞았지만, 이 한 줄만으로는 풀이가 완성되지 않는다. 어떤 각이 삼각형의 내각인지, 65도가 그림의 어느 위치에 주어진 값인지, 외각을 구하는 과정에서 어떤 성질을 사용했는지가 빠져 있기 때문이다. 중1 도형에서는 정답 여부만으로 학습 상태를 판단하면 실제 약점을 놓치기 쉽다.
마두동에서 중1 수학을 공부할 때도 백마중학교, 백신중학교, 정발중학교처럼 학교와 주거지의 이동 거리에 따라 평일에 확보할 수 있는 공부 시간이 달라질 수 있다. 따라서 짧은 시간에는 새로운 문제 수를 늘리기보다, 이미 맞힌 내각·외각 문제 중 풀이가 지나치게 오래 걸렸거나 근거가 없는 문제를 골라 다시 확인하는 방식이 효율적이다. 같은 일산동구의 백석중학교와 안곡중학교는 참고 학교일 뿐, 마두동 소재 학교로 구분해 단정하지 않는다.
정답인데도 다시 분류해야 하는 도형 문제
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보자. 문제에 삼각형의 한 외각이 120도이고, 외각과 이웃하지 않는 두 내각 중 하나가 55도라고 주어졌다. 학생은 “120-55=65도”라고 계산해 답을 맞혔다. 그러나 그림에 각을 표시하지 않았고, 120도와 55도의 관계를 설명하지 못했다.
이때 답안을 세 종류로 나눈다.
- 빠르게 풀고, 사용한 성질과 계산을 설명하며 검산까지 한 정답
- 답은 맞았지만 각의 위치 표시나 성질 설명이 빠진 정답
- 답은 맞았으나 그림을 오래 바라보다가 감으로 선택한 느린 정답
두 번째와 세 번째는 틀린 문제는 아니지만 재확인 대상이다. 특히 외각의 크기를 구할 때 외각과 이웃한 내각의 합이 180도라는 관계를 사용했는지, 또는 외각이 그 외각과 떨어진 두 내각의 합과 같다는 성질을 사용했는지를 구분해야 한다. 두 방법 모두 가능한 문제라면 학생이 실제로 이해한 방법을 기록하면 된다.
눈으로 기억하지 않고 조건을 도형에 옮기기
학생이 자주 하는 행동은 문제를 끝까지 읽은 뒤에도 주어진 각을 그림에 표시하지 않는 것이다. 선이 겹치거나 연장된 그림에서는 어느 각이 내각이고 어느 각이 외각인지 머릿속으로만 판단한다. 수업에서 “외각은 한 내각과 이웃한다”고 들었는데, 문제집에는 “삼각형의 한 변을 연장하여 생긴 각”이라고 표현되어 있으면 두 문장을 같은 성질로 연결하지 못하기도 한다.
수정할 때는 문제마다 먼저 각의 위치를 표시한다. 삼각형 내부의 각에는 작은 호를 그리고, 한 변의 연장선 때문에 생긴 각에는 바깥쪽 호를 그린다. 주어진 수 옆에는 ‘내각’, ‘외각’, ‘이웃한 내각’처럼 짧은 표시를 붙인다. 그다음 사용할 성질을 계산 전에 한 문장으로 적는다.
외각의 크기는 외각과 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다.
예를 들어 두 내각이 48도와 67도라면 외각은 48+67=115도이다. 반대로 외각이 115도이고 한 내각이 48도라면 나머지 내각은 115-48=67도이다. 같은 숫자라도 구하는 대상과 조건의 위치가 달라지므로, 숫자만 보고 뺄셈부터 하지 않도록 하는 것이 핵심이다.
한 문제를 풀고 남기는 네 가지 기록
문제 수를 채우기 위해 맞힌 문제를 곧바로 넘기지 않고, 다음 네 항목을 짧게 기록한다.
- 풀이 시간: 문제를 읽은 순간부터 답을 쓴 순간까지
- 조건 표시: 그림에 주어진 각과 연장선을 표시했는지
- 근거 문장: 내각의 합, 외각의 성질, 평각의 크기 중 무엇을 사용했는지
- 검산: 구한 각을 원래 관계에 대입했을 때 조건이 맞는지
삼각형의 내각 두 개가 62도, 73도일 때 남은 내각을 구해 45도라고 썼다면 62+73+45=180인지 확인한다. 외각을 구한 경우에는 외각 135도와 이웃한 내각 45도의 합이 180도인지, 또는 떨어진 두 내각의 합이 135도인지 대입한다. 검산 결과 두 관계가 맞으면 계산과 성질 선택을 함께 확인할 수 있다.
긴 문장제에서는 수량을 식으로 옮기기 전에 문장 속 조건에 밑줄을 긋는다. “한 변을 연장하였다”는 표현은 외각이 생겼다는 뜻이고, “나머지 두 내각의 크기”라는 표현은 외각과 떨어진 두 각을 찾으라는 단서가 될 수 있다. 불필요한 숫자가 포함되어 있어도 모든 숫자를 식에 넣지 않고, 구하려는 각과 직접 연결된 조건만 남긴다.
표현과 배치가 바뀐 뒤에도 성질을 찾는지 확인하기
같은 문제를 숫자만 바꾸어 바로 다시 풀게 하는 것으로는 충분하지 않다. 먼저 교과서와 표현이 다른 학교 프린트의 문장을 사용한다. 예를 들어 “삼각형의 한 변을 연장했을 때 생기는 각”이라고 제시하고, 그림에서는 외각을 아래쪽에 배치한다. 학생은 각의 위치가 달라져도 외각과 이웃한 내각을 표시한 뒤, 180도 관계 또는 두 내각의 합을 선택해야 한다.
다음에는 조건을 바꾼다. 외각을 먼저 주고 한 내각을 구하게 하거나, 두 내각의 차가 주어진 상황에서 합이 180도라는 조건을 이용하게 한다. 숫자를 35도와 82도로 바꾸면 외각은 117도이고, 외각이 142도이며 한 내각이 58도라면 나머지 내각은 84도이다. 각각 계산 후 35+82=117, 142-58=84로 다시 확인한다.
마지막 검증은 다음 날 또는 일주일 뒤에 실시한다. 피곤한 날에는 새 문제를 여러 개 추가하지 않고, 전날 느린 정답 한 문제를 골라 ① 그림 표시 ② 성질 문장 ③ 식 ④ 검산 순서로 3분 안에 설명하게 한다. 숫자와 도형의 방향이 바뀌어도 설명이 유지되면 공식 암기에서 조건 판단으로 학습이 전환된 것으로 볼 수 있다.
마두동중1수학과외에서 내각과 외각을 다룰 때의 목표는 맞힌 문제 수를 계속 늘리는 데만 있지 않다. 정답이 나온 문제라도 속도, 근거, 검산을 다시 살펴야 다음 프린트나 서술형에서 조건이 바뀌었을 때 같은 성질을 독립적으로 선택할 수 있다.