이천 고3수학과외, 방향벡터와 법선벡터의 내적 조건 점검
이천제일고등학교, 이천고등학교, 이천양정여자고등학교 등 이천의 고3 학생들은 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 공간도형 문제를 풀이할 때, 문자만 바뀐 문제의 조건을 다시 읽는 습관이 필요하다. 부발읍이나 증포동처럼 통학 동선이 다른 학생도 짧은 풀이 시간 안에 벡터의 방향과 조건을 먼저 확인해야 한다.
조건을 읽지 않고 해설부터 찾은 풀이
공간에서 평면의 법선벡터가 n=(2,-1,3)이고, 직선의 방향벡터가 d=(x,2,1)이다. 직선이 이 평면과 평행할 때 x를 구하는 문제를 풀며 학생은 다음과 같이 적었다.
n·d=2x-2+3=0
2x+1=0이므로 x=-1/2
이 계산 자체는 맞지만, 학생은 처음에 새 조건을 확인하지 않고 이전 해설의 식을 찾다가 멈췄다. 또 왼쪽 풀이 칸에는 내적을 적고 오른쪽 칸에는 이전 문제의 부분합을 적어, 현재 문제와 관계없는 계산을 이어 갔다. 공간벡터 문제에서는 급수의 부분합을 비교하는 것이 아니라 각 성분의 곱을 더해 내적을 확인해야 한다.
틀린 식과 정확한 식을 나란히 대조하기
- 틀린 식: n·d=2+x+3=0
- 왜 틀렸는가: 두 번째 성분은 (-1)×2=-2인데, 부호를 빠뜨려 x로 처리했다.
- 정확한 식: n·d=2×x+(-1)×2+3×1=2x+1
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 “직선이 평면과 평행”이라는 조건을 확인했다. 직선의 방향벡터가 평면 안의 방향과 수직인 법선벡터에 수직이어야 하므로 n·d=0이다. 따라서
2x+(-2)+3=0
2x+1=0, x=-1/2
로 수정했다. 대입 검산을 하면 d=(-1/2,2,1)일 때
n·d=2×(-1/2)+(-1)×2+3×1=-1-2+3=0
이므로 평행 조건이 맞다. 반대로 틀린 식에서 얻은 x=-5/2를 대입하면 내적은 -5-2+3=-4가 되어 0이 아니므로 조건을 만족하지 않는다.
수직 조건으로 바꾼 독립 검증
같은 계산을 반복하지 않고, 법선벡터와 방향벡터의 역할을 바꾼 새 문제로 확인했다. 법선벡터가 m=(1,-2,4)이고 방향벡터가 e=(3,y,1)인 직선이 이 법선벡터와 수직일 때 y를 구한다.
수직 조건은 곧 내적이 0이라는 뜻이므로
m·e=1×3+(-2)×y+4×1=0
7-2y=0, y=7/2
대입하면
(1,-2,4)·(3,7/2,1)=3-7+4=0
이다. 학생은 이번에는 해설을 찾기 전에 조건을 먼저 표시하고, 성분별 곱을 한 줄씩 적은 뒤 내적이 0인지 검산했다. 방향이 평행인지 수직인지에 따라 내적 조건을 달리 해석해야 한다는 점까지 원식과 대조해 확인했다.