분모의 h를 0으로 만들기 전에 해야 할 일
이천고등학교, 이천제일고등학교, 효양고등학교 등 이천 지역의 고2 학생들은 방과 후 이동 시간과 학교 자습 시간을 함께 고려해 풀이 과정을 짧게 정리할 필요가 있다. 미분에서는 답만 빠르게 얻는 것보다 미분계수의 정의가 도함수와 접선의 기울기로 어떻게 이어지는지 식으로 남기는 것이 중요하다.
변형문제 풀이에서 다음과 같은 줄이 발견되었다.
“h=0을 대입하면 (f(a)-f(a))/0=0/0”
이 계산은 미분계수의 값을 구한 것이 아니다. 미분계수는
\[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
로 정의되므로, h가 0에 가까워지는 과정에서 먼저 분자를 정리해야 한다. h=0을 직접 대입하면 분모가 0이 되어 식 자체가 정의되지 않는다.
계수와 부호가 바뀌어도 정의에서 접선까지 연결하기
함수 \(f(x)=-2x^2+3x+1\)에서 \(x=1\)일 때의 미분계수와 접선의 방정식을 구해 보자.
먼저 정의에 필요한 값을 계산한다.
\[ f(1)=2,\qquad f(1+h)=-2(1+h)^2+3(1+h)+1 \]
\[ f(1+h)=-2-4h-2h^2+3+3h+1 =2-h-2h^2 \]
따라서
\[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{(2-h-2h^2)-2}{h} =\frac{-h-2h^2}{h} =-1-2h \]
이제 정리된 식에 \(h\to0\)을 적용한다.
\[ f'(1)=\lim_{h\to0}(-1-2h)=-1 \]
점 \((1,2)\)에서 접선의 기울기는 \(-1\)이므로 접선은
\[ y-2=-(x-1),\qquad y=-x+3 \]
가 된다. 정의로 구한 미분계수는 도함수값 \(f'(1)\)과 같고, 동시에 해당 점에서의 접선 기울기가 된다.
풀이 줄에 남겨야 할 세 가지 표시
같은 오류를 줄이기 위해 답안에는 다음 순서를 표시한다.
- \(h\neq0\)인 상태에서 차분몫을 전개한다.
- 분자에서 h를 묶어 약분한다.
- 약분이 끝난 뒤에만 \(h\to0\)을 적용한다.
예를 들어 \(f(x)=3x^2-4x\), \(x=2\)라면
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{3(2+h)^2-4(2+h)-4}{h} =\frac{8h+3h^2}{h} =8+3h \]
이후 \(h\to0\)을 적용하여 \(f'(2)=8\)을 얻는다. 계산 옆에는 “약분 후 극한”이라고 적어, \(0/0\)을 답으로 확정하지 않았는지 확인한다.
문자 매개변수로 확인하는 미분계수의 정의
수치가 달라져도 같은 판단을 하는지 확인하기 위해 \(f(x)=ax^2+bx+c\)의 \(x=p\)에서 미분계수를 구한다.
\[ \frac{f(p+h)-f(p)}{h} =\frac{a(p+h)^2+b(p+h)+c-(ap^2+bp+c)}{h} \]
\[ =\frac{(2ap+b)h+ah^2}{h} =2ap+b+ah \]
따라서
\[ f'(p)=\lim_{h\to0}(2ap+b+ah)=2ap+b \]
여기서 \(h=0\)을 처음부터 넣지 않고, h를 포함한 항을 정리하고 약분한 뒤 극한을 취했는지가 판단 기준이다. 접점의 좌표는 \((p,ap^2+bp+c)\), 접선의 기울기는 \(2ap+b\)이므로 접선은
\[ y-(ap^2+bp+c)=(2ap+b)(x-p) \]
로 연결된다.