의정부동 고2수학과외, h=0을 먼저 대입한 미분계수 오답 추적
“여기서 h가 0이니까 분자는 0, 분모도 0입니다.”
의정부동에서 고2 수학을 지도하며 확인한 한 풀이에는 다음 식이 남아 있었다.
f(x)=x²+3x에서 x=2일 때의 미분계수
f′(2)=limh→0 {f(2+h)-f(2) \over h} =limh→0 {(2+h)²+3(2+h)-10 \over h}
여기까지 전개한 뒤 h=0을 먼저 넣어 0/0이라고 적었다. 그러나 h→0은 h가 0인 순간의 값을 대입하라는 뜻이 아니라, h가 0에 한없이 가까워지는 식의 값을 구하라는 의미다.
0/0은 답이 아니라 약분 전의 표현이다
먼저 h를 0으로 보내지 말고 분자를 정리해야 한다.
(2+h)²+3(2+h)-10
=4+4h+h²+6+3h-10
=7h+h²
따라서
f′(2)=limh→0{7h+h² \over h} =limh→0(7+h)=7
h≠0인 상태에서 h로 약분한 뒤 극한을 취하는 것이다. 학생이 오류가 발생한 줄을 표시하지 못했던 이유도 계산 결과만 다시 확인하고, ‘h→0 전’과 ‘h=0 대입’을 구분하지 않았기 때문이다.
계산 줄에 극한의 순서를 표시하기
이 유형을 풀 때는 답안에 다음 두 문장을 반드시 남긴다.
- 먼저 분자를 전개하고 h로 묶는다.
- 약분한 뒤 h→0을 적용한다.
의정부동의 상우고등학교 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 긴 풀이를 여러 개 쓰기보다 이 두 순서를 짧은 식 옆에 표시하는 방식이 적합하다. 의정부광동고등학교나 송양고등학교 등은 같은 의정부시의 참고 학교일 뿐, 의정부동 소재 학교와 동일하게 단정할 수는 없으므로 학교별 범위에 맞춰 문제를 골라야 한다.
숫자를 바꾼 미니문제로 즉시 재현하기
다음은 같은 판단을 다른 식에서 확인하는 문제다.
f(x)=x²-4x+1일 때 f′(3)을 미분계수의 정의로 구하여라.
f(3)=-2, f(3+h)=-2+2h+h²
f′(3)=limh→0 {f(3+h)-f(3) \over h} =limh→0{2h+h² \over h} =limh→0(2+h)=2
이때 h=0을 중간식에 넣어 0/0을 만드는 것이 아니라, h로 약분한 뒤 극한을 계산해야 한다. 미분계수의 정의를 알고 있는지는 공식 암기보다 이 계산 순서를 지키는지에서 드러난다.
원래 식과 분리한 검증: 계수와 접점을 함께 바꾸기
마지막에는 앞의 문제를 보지 않고 다음 식을 독립적으로 풀이한다.
g(x)=3x²-2x에서 g′(-1)을 정의로 구하여라.
g(-1)=5, g(-1+h)=5-8h+3h²
g′(-1)=limh→0 {g(-1+h)-g(-1) \over h} =limh→0{-8h+3h² \over h} =limh→0(-8+3h)=-8
이 풀이에서 h=0을 먼저 대입하지 않고, 분자를 h로 정리한 흔적이 남아 있어야 한다. 식과 접점이 모두 바뀌어도 같은 순서를 스스로 재현했다면 미분계수 정의에서 발생한 오류의 위치를 실제로 수정한 것이다.