의정부동고1수학과외: \(x-p\)의 부호로 점근선 읽기
의정부동의 상우고등학교 수학 학습에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 준비가 겹칠 때, 식을 보자마자 그래프의 정보를 정확히 뽑아내는 연습이 필요하다. 특히 유리함수 \(y=\frac{k}{x-p}+q\)에서는 괄호 안의 부호를 그대로 읽지 말고, 분모가 0이 되는 조건부터 확인해야 한다.
오답식은 분모의 0을 찾지 않은 흔적이다
학교 프린트에서 \(y=\frac{5}{x-3}+2\)의 점근선을 묻자 학생은 다음처럼 적었다.
\(x=-3,\quad y=2\)
수평점근선 \(y=2\)는 맞지만, 수직점근선은 틀렸다. 분모가 0이 되는 순간을 계산하면
\(x-3=0 \Rightarrow x=3\)
이므로 수직점근선은 \(x=3\)이다. 여기서 \(x-3\)의 숫자 3에 단순히 반대 부호를 붙이는 것이 아니라, 분모 전체를 0으로 만드는 x값을 구해야 한다.
식의 두 이동량을 좌표축에 따로 연결하기
일반식
\[ y=\frac{k}{x-p}+q \quad (k\ne0) \]
에서 수직점근선은 분모가 0이 되는 지점이다.
\[ x-p=0 \Rightarrow x=p \]
따라서 괄호가 \(x-p\)이면 수직점근선은 \(x=p\)이다. 한편 \(q\)는 함수값 전체에 더해지는 수이므로 그래프를 위아래로 이동시켜 수평점근선 \(y=q\)를 만든다. 예를 들어
\[ y=\frac{-2}{x+4}-1 \]
은 \(x+4=x-(-4)\)로 바꾸어 보면 수직점근선이 \(x=-4\), 수평점근선이 \(y=-1\)이다. 괄호 안의 \(+4\)만 보고 \(x=4\)라고 판단하면 안 된다.
풀이 줄을 바꾸어 점근선을 먼저 고정하기
이 학생에게는 긴 설명을 덧붙이기보다 식을 본 직후 다음 두 줄을 적게 했다.
\[ x-p=0 \Rightarrow x=p \]
\[ y-q=0 \Rightarrow y=q \]
예를 들어 \(y=\frac{7}{x-6}+4\)라면 먼저 \(x-6=0\)에서 \(x=6\), \(y-4=0\)에서 \(y=4\)를 적는다. 그 다음 그래프를 그리거나 점근선을 답란에 옮긴다. 오답노트에는 정답 \(x=6,\ y=4\)만 쓰지 않고, 분모를 0으로 놓고 \(x\)값을 구한 뒤 \(q\)를 수평점근선으로 연결한다는 바뀐 행동을 남긴다.
표의 관계를 식과 그래프로 옮기는 확인
수행평가와 지필평가의 공통 개념을 연결하기 위해, 다음 표를 제시하되 마지막 열의 99는 관계 판단에 필요 없는 수로 넣었다.
\[ \begin{array}{c|c|c} X & Y & \text{기록번호}\\ 1 & 12 & 99\\ 2 & 6 & 99\\ 3 & 4 & 99 \end{array} \]
학생이 \(XY\)를 계산해 모두 12임을 찾아내면 \(Y=\frac{12}{X}\)인 반비례 관계라고 판단할 수 있다. \(X\)와 \(Y\)의 곱이 일정하므로 정비례 \(Y=aX\)가 아니다. 유리함수 문제에서는 \(X=x-p,\ Y=y-q\)로 이동한 좌표를 생각하면
\[ Y=\frac{k}{X} \]
의 형태가 되어, \(X=0\), 즉 \(x=p\)에서 정의되지 않고 \(Y=0\), 즉 \(y=q\)에 가까워지는 구조를 확인할 수 있다. 표의 불필요한 기록번호를 답에 포함하지 않고 변화 관계만 읽는지가 관찰 지점이다.
새 조건에서 말로 확인하는 적용 장면
마지막에는 식을 바꾼 문제를 제시했다.
\[ y=\frac{9}{x+2}-5 \]
학생이 계산 없이 답을 고르는 대신 “\(x+2=x-(-2)\)이므로 \(x=-2\), \(y+5=0\)이므로 \(y=-5\)”라고 설명하는지 확인한다. 이어 표에서 \(X\)가 1, 2, 4로 변할 때 \(Y\)가 18, 9, \(9/2\)로 변하는 관계를 보고 \(XY=18\)인 반비례임을 스스로 결정하게 한다. 이렇게 식의 부호, 이동된 변수의 관계, 그래프의 두 점근선을 한 흐름으로 연결할 때 새로운 숫자와 표현에서도 판단이 유지된다.