점과 평면 사이의 거리를 식으로 판별하기
내손동에서 고3 수학과외를 진행한 학생은 내손고등학교와 백운고등학교처럼 지역 내 학교의 위치, 그리고 내손이편한세상1단지·4단지 등 주거지에서 확보되는 공부 시간을 다르게 관리하고 있었다. 이동 시간이 짧은 날에는 풀이보다 오답의 식을 다시 세우는 데 집중했고, 이날은 공간도형에서 점과 평면의 거리 조건을 점검했다.
법선벡터의 크기를 빠뜨린 오답
문제는 평면 2x-y+2z-6=0과 점 P(2,-1,1) 사이의 거리를 구하는 것이었다. 학생은 대입까지는 정확히 하여
2(2)-(-1)+2(1)-6=1
을 얻었지만, 다음 줄에 점과 평면 사이의 거리를 1이라고 적었다. 이 식은 오답이다. 평면의 법선벡터는 (2,-1,2)이고 그 크기는
√(2²+(-1)²+2²)=3
이므로 점과 평면 사이의 거리는
d=|2x-y+2z-6|/√(2²+(-1)²+2²)=1/3
이다. 분자는 점의 좌표를 평면식에 대입한 값이고, 분모는 평면의 방향을 나타내는 법선벡터의 크기이므로 둘을 나누지 않으면 좌표식의 크기만 계산하게 된다.
틀린 줄부터 역검산하기
- 틀린 줄 표시: d=1이라고 쓴 줄에 밑줄을 긋는다.
- 조건과 변수 관계 확인: 평면식의 계수 (2,-1,2)가 법선벡터라는 점을 확인하고, 거리 공식의 분모가 그 길이임을 적는다.
- 식 수정: d=|1|/3=1/3으로 고친다.
- 역검산: 평면 위 점 Q(3,0,0)을 잡으면 2(3)-0+0-6=0이다. 벡터 P-Q=(-1,-1,1)과 법선벡터 (2,-1,2)의 내적은 -2+1+2=1이고, 이를 법선벡터의 크기 3으로 나누면 다시 1/3이 된다.
학생은 이전에 비슷한 문제를 맞힌 경험이 있었지만, 숫자와 평면식이 바뀌자 분모를 생략했다. 따라서 답을 기억하는 대신 “평면식에 대입한 값은 법선 방향 성분이며, 실제 거리는 법선벡터의 크기로 정규화한다”는 관계를 풀이 첫 줄 옆에 적도록 수정했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 평면과 점을 바꾸어 확인했다. 평면
x+2y-2z+3=0
과 점 R(2,1,-1)이 주어지면 분자는
2+2-2(-1)+3=9
이고, 법선벡터 (1,2,-2)의 크기는 √(1+4+4)=3이다. 따라서
d=|9|/3=3
이다. 학생은 이번에는 분모를 먼저 확인한 뒤 계산했고, 평면 위 점 S(-3,0,0)을 대입하여 -3+3=0임을 확인했다. 또한 R-S=(5,1,-1)과 법선벡터의 내적이 5+2+2=9이므로 다시 9/3=3을 얻어 새 조건에서도 같은 원리가 유지됨을 검증했다.