내손동 고2수학과외: 그래프의 불연속을 세 조건으로 판별하기
내손동의 백운고등학교와 내손고등학교처럼 학교까지의 이동 시간이 다르고, 내손이편한세상1단지·4단지처럼 생활권에 따라 귀가 후 학습 시간이 달라질 수 있어도, 연속과 불연속 문제의 판단 기준은 그래프의 모양만 보고 정할 수 없다. 학생의 풀이에서는 그래프가 끊겨 보인다는 이유만으로 점프 불연속과 구멍 불연속을 같은 방식으로 처리하는 장면이 나타났다.
함숫값, 좌우극한, 극한값의 일치 여부
함수 f가 x=a에서 연속이 되려면 다음 세 조건이 모두 필요하다.
- f(a)가 존재한다.
- 좌극한과 우극한이 같아 limx→af(x)가 존재한다.
- limx→af(x)=f(a)이다.
따라서 그래프가 끊어졌다는 사실만으로 불연속의 종류를 결정하지 않고, 끊긴 점의 양쪽으로 다가가는 값과 실제 함숫값을 따로 읽어야 한다.
구멍과 점프를 같은 식으로 처리한 오답
다음 함수가 x=1에서 연속인지 살펴보자.
f(x)=
{ x+1 (x<1)
3 (x=1)
2x (x>1)
}
학생은 그래프가 끊겼다는 이유로 “좌우의 식이 다르므로 점프 불연속”이라고 적었다. 그러나 계산하면
limx→1−f(x)=1+1=2,
limx→1+f(x)=2·1=2
이므로 좌우극한은 같고 극한값은 2이다. 반면 f(1)=3이므로 극한값과 함숫값이 다르다. 따라서 이 점은 구멍 불연속이다. 좌우극한이 다르지 않으므로 점프 불연속으로 분류할 수 없다.
부호를 바꾼 그래프에서 기준 유지하기
이번에는 오른쪽 식의 부호를 바꾼 다음 함수를 확인한다.
g(x)=
{ −x+1 (x<1)
0 (x=1)
−2x+3 (x>1)
}
x=1에서
limx→1−g(x)=−1+1=0,
limx→1+g(x)=−2+3=1
이다. 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 양쪽 극한이 존재하지 않는다. 함숫값 g(1)=0이 정해져 있어도 연속이 될 수 없으며, 이 경우는 점프 불연속이다.
풀이할 때는 식 옆에 반드시 “좌극한”, “우극한”, “함숫값”을 나누어 적는다. 예를 들어 첫 함수는 2, 2, 3으로 기록하고, 두 번째 함수는 0, 1, 0으로 기록하면 구멍과 점프를 동일하게 처리하기 어렵다.
새 조건에서도 세 줄 판별이 유지되는가
다음 함수의 x=−1에서 불연속의 종류를 판별한다.
h(x)=
{ x+2 (x<−1)
4 (x=−1)
−x+1 (x>−1)
}
좌극한은 −1+2=1, 우극한은 −(−1)+1=2이다. 두 값이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다. h(−1)=4라는 함숫값을 확인했더라도 결론은 바뀌지 않으며, x=−1에서의 불연속은 점프 불연속이다.
이처럼 계수와 부호가 달라진 문제에서도 답안에 세 조건을 직접 남기고, 좌우극한이 같은지부터 판별해야 그래프의 끊김을 구멍과 점프로 정확히 구분할 수 있다.