고천동고2수학과외에서 확인한 불연속 그래프 읽기
고천동에서 우성고등학교나 경기외국어고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행할 때, 함수의 연속 문제는 계산량보다 그래프의 한 점을 끝까지 확인하는 과정이 중요하다. 고천파크루체아파트와 솔거원효아파트 생활권에서 이동 후 짧은 시간에 풀이할수록 학생은 그래프의 끊긴 지점을 건너뛰고 주변 모양만 보고 답을 적기 쉬웠다.
불연속점을 지나치면 계산 줄에서 무엇이 달라지는가
다음 함수의 연속성을 조사해 보자.
f(x) = x+1 (x<1), 3 (x=1), x+2 (x>1)
x=1의 왼쪽에서의 극한은
lim(x→1-) f(x) = 2
오른쪽에서의 극한은
lim(x→1+) f(x) = 3
따라서 좌극한과 우극한이 다르므로 lim(x→1) f(x)는 존재하지 않는다. 함숫값 f(1)=3을 계산했더라도 함수는 x=1에서 연속이 아니다. 그래프에서는 왼쪽 조각이 높이 2로 다가가고 오른쪽 조각이 높이 3으로 다가가므로 두 점 사이에 점프가 생긴다.
풀이에서 불연속 발생 지점인 x=1을 건너뛰면 학생은 여백에 “두 부분 모두 직선이므로 연속”이라고 적을 수 있다. 그러나 각 식이 구간 안에서 연속이라는 사실과, 경계점에서 전체 함수가 연속이라는 사실은 다르다. 학생이 이 문제에서 x=1을 조사하지 않은 것은 계산 실수라기보다 그래프의 끊긴 지점을 확인하지 않은 풀이 행동이다.
구멍과 점프를 같은 방식으로 처리하지 않기
이번에는 다음 함수를 살펴본다.
g(x) = (x²-1)/(x-1) (x≠1), 4 (x=1)
x≠1에서 식을 정리하면
g(x)=x+1
이므로
lim(x→1) g(x)=2
하지만 g(1)=4이다. 극한값과 함숫값이 다르므로 x=1에서 불연속이며, 그래프에는 직선 y=x+1 위의 점 (1,2)가 비어 있고 (1,4)에 다른 점이 놓인다. 이는 한쪽에서 높이가 달라지는 점프 불연속이 아니라, 한 점이 빠진 뒤 다른 함숫값이 지정된 형태의 제거 가능 불연속이다.
점프 불연속에서는 좌극한과 우극한을 따로 비교해야 한다. 구멍 불연속에서는 먼저 주변 식으로 극한값을 구한 뒤 실제 함숫값과 비교해야 한다. 두 상황을 모두 “끊겼으므로 좌우 값이 다르다”라고 처리하면 구멍 불연속의 판단 근거가 틀린다.
대입 한 번으로 그래프 해석을 고정하는 훈련
풀이 여백에 불연속 후보를 먼저 표시하고, 그 점의 양쪽 식과 함숫값을 각각 적게 한다.
x=1: 왼쪽 접근값=2, 오른쪽 접근값=3, f(1)=3
이 세 값을 나란히 쓰면 좌우 극한이 다른 점프 불연속임을 바로 확인할 수 있다. 구멍 형태라면
lim(x→1) g(x)=2, g(1)=4
처럼 극한과 함숫값을 분리한다. 그래프를 그릴 때도 빈 점과 채운 점을 같은 점으로 합치지 않고, 원래 식의 어느 구간에서 나온 값인지 표시해야 한다.
조건을 바꾼 그래프에서 다시 확인하기
다음 함수에서 x=2의 연속성을 판단해 보자.
h(x) = 2x-1 (x<2), x+3 (x≥2)
왼쪽 극한은 3, 오른쪽 극한과 함숫값은 각각 5이므로
lim(x→2-)h(x)=3, lim(x→2+)h(x)=5, h(2)=5
이다. 따라서 x=2에서 점프 불연속이다. 이번에는 학생이 불연속점 x=2를 먼저 표시하고 좌극한·우극한·함숫값을 구분해 적는지 확인한다. 단순히 그래프가 끊어졌다고 쓰는 데서 멈추지 않고, 어느 두 값이 달라졌는지 계산 줄로 설명해야 한다.
고천동고2수학과외에서 이 유형을 점검할 때의 기준은 답만 맞히는 것이 아니다. 불연속 후보를 빠뜨리지 않았는지, 구멍과 점프를 구별했는지, 대입한 값과 극한값을 원래 식에 맞게 보존했는지를 함께 확인해야 한다.