고천동고1수학과외, 분수형 함수 역함수의 분모 조건까지 읽기
고천동의 우성고등학교나 경기외국어고등학교처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 고등학교 초반에는, 풀이 한 줄을 생략한 채 다음 문제로 넘어가는 습관이 오답으로 이어지기 쉽다. 분수형 함수의 역함수는 특히 식을 뒤집는 문제가 아니라 입력과 출력의 관계를 바꾸는 과정으로 다뤄야 한다.
역함수와 역수는 서로 다른 대상이다
학교 프린트에서 f(x)=\frac{2x+3}{x-1}의 역함수를 구하는 문제를 풀이했다. 이 함수는 분모가 0이 될 수 없으므로 처음부터 x≠1이라는 조건을 가진다.
학생은 답안에 f-1(x)=\frac{1}{f(x)}라고 적었다. 이는 역함수를 역수로 해석한 것이다. 역함수에서는 먼저 함수의 입력과 출력을 서로 바꾸어야 한다. 역수는 함수값에 1을 나누는 연산이므로 두 개념은 같지 않다.
y를 먼저 놓고 x와 y의 자리를 바꾼다
정확한 계산은 다음과 같다.
y=\frac{2x+3}{x-1}
양변에 x-1을 곱하면
y(x-1)=2x+3
따라서
yx-y=2x+3
x(y-2)=y+3
x=\frac{y+3}{y-2}
이제 x와 y를 교환하면
f-1(x)=\frac{x+3}{x-2}
여기서 역함수의 분모가 0이 되지 않아야 하므로 x≠2이다. 원래 함수의 정의역에서 제외한 값은 x=1이고, 원래 함수의 치역에서는 y=2가 제외된다. 실제로 \frac{2x+3}{x-1}=2라고 두면 2x+3=2x-2가 되어 성립하지 않으므로 y=2는 함수값이 될 수 없다.
분모 조건은 계산 뒤에 붙이는 장식이 아니다
학생이 놓친 지점은 단순한 식 변형이 아니라 조건 기록이었다. 역함수 식을 얻은 뒤에도 x-2≠0을 적어야 한다. 또한 원래 식을 정리할 때 x-1을 곱했으므로 원래 함수의 조건 x≠1도 함께 확인해야 한다.
역함수는 1/f(x)가 아니라 x와 y를 교환한 관계이며, 마지막에는 새 식의 분모와 원래 함수의 정의역 조건을 각각 확인한다.
말로 근거를 설명한 뒤 계산을 마무리하기
풀이를 다시 할 때 학생은 답을 바로 쓰지 않고 먼저 “역함수는 입력과 출력의 위치를 바꾸므로 y를 정리한 뒤 x와 y를 교환한다. 원래 분모 때문에 x≠1이고, 역함수 분모 때문에 x≠2이다.”라고 설명했다.
그 다음 y=\frac{3x-4}{x+2}를 같은 방식으로 정리했다. x+2를 곱하면 yx+2y=3x-4이므로 x(y-3)=-(2y+4)이다. 따라서 x=\frac{-2y-4}{y-3}이고, x와 y를 바꾸면
f-1(x)=\frac{-2x-4}{x-3}
가 된다. 이때 원래 함수는 x≠-2, 역함수는 x≠3이다. 부호를 먼저 판단하고 절댓값 계산을 별도로 처리하듯, 식의 부호와 분모 조건도 섞지 않고 각각 확인하게 했다.
배치가 달라진 문제에서 순서를 유지하는지 확인
고천동에서 귀가 후 짧은 시간에 학교 프린트를 복습할 때는 같은 식을 반복하기보다 풀이 칸의 배치를 바꾼 문제를 제시했다.
g(x)=\frac{-4x+5}{x+3}에 대해 다음 네 칸을 섞어 제시했다.
- 역함수의 분모가 0이 되는 값
- x와 y를 교환한 식
- 원래 함수의 정의역 조건
- y를 x에 관해 정리한 식
학생이 먼저 y=\frac{-4x+5}{x+3}에서 y(x+3)=-4x+5, 즉 x(y+4)=5-3y를 얻고 x=\frac{5-3y}{y+4}를 만든 뒤, g-1(x)=\frac{5-3x}{x+4}를 적는지 확인했다. 원래 조건은 x≠-3, 역함수 조건은 x≠-4이다.
이번에는 답지를 찾기 전에 학생이 한 번 더 풀이를 시도하면서 “역수로 바꾸지 않았는가, x와 y를 교환했는가, 분모 0을 제외했는가”를 스스로 말하게 했다. 새로운 계수와 부호, 달라진 풀이 배치에서도 이 순서를 유지했다면 해당 학습 항목을 마무리할 수 있다.