진관동고1수학과외, 0이 첫 자리에 올 수 없는 세 자리 수의 경우의 수
은평뉴타운10단지와 구파발9단지 생활권에서 학교 수학을 정리할 때, 숫자 카드를 이용한 경우의 수 문제는 조건을 식으로 옮기는 과정이 중요하다. 진관고등학교, 신도고등학교 등 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간이 달라도 먼저 자리의 역할을 나누어 세는 습관이 필요하다.
오답은 첫 번째 자리 후보를 잘못 잡은 데서 시작됐다
숫자 카드 0, 2, 4, 7, 8을 각각 한 번씩만 사용하여 세 자리 자연수를 만드는 문제를 살펴보자. 학생은 다음과 같이 적었다.
첫째 자리 5가지, 둘째 자리 4가지, 셋째 자리 3가지이므로
5×4×3=60
이 계산에서 오류가 난 정확한 줄은 “첫째 자리 5가지”이다. 0은 카드로 사용할 수 있지만 세 자리 자연수의 첫 자리에 놓이면 024처럼 두 자리 수로 해석되므로 첫째 자리 후보가 될 수 없다.
자리마다 후보 집합을 따로 만들어야 한다
첫째 자리에는 0을 제외한 2, 4, 7, 8만 올 수 있으므로 4가지다. 첫째 자리를 정한 뒤에는 카드가 4장 남고, 둘째 자리에는 그중 4가지를 선택한다. 셋째 자리에는 남은 3장 중 하나를 놓는다.
따라서 경우의 수는
4×4×3=48
이다. 0을 제외하는 판단은 곱셈 계산의 마지막에 붙이는 설명이 아니라, 첫 번째 자리의 후보를 정할 때 먼저 반영해야 한다.
‘같은 수를 다시 사용한다’는 행동을 카드 조건과 구분하기
학생은 다음 줄로 넘어가기 전에 첫 자리 조건을 다시 확인하지 않았고, 카드가 한 번씩만 사용된다는 조건도 자리별 후보에서 분리하지 않았다. 이때 필요한 기록은 다음처럼 간단하다.
- 첫째 자리: 0 제외, 4가지
- 둘째 자리: 사용한 카드 제외, 4가지
- 셋째 자리: 남은 카드 중 선택, 3가지
이 표시는 단순한 풀이 장식이 아니다. 첫째 자리의 제한과 뒤 자리의 중복 금지라는 서로 다른 조건을 각각 어느 단계에 적용했는지 보여준다.
조건이 하나 더 붙은 문제에서 자리 분리를 확인하기
새 숫자 카드 0, 1, 3, 5, 6으로 중복 없이 세 자리 짝수를 만든다고 하자. 이번에는 마지막 자리가 0 또는 6이어야 한다.
마지막 자리가 0인 경우에는 첫째 자리에 1, 3, 5, 6 중 하나를 놓고 둘째 자리를 남은 3장 중에서 고르므로 4×3=12가지다. 마지막 자리가 6인 경우에는 첫째 자리에 1, 3, 5 중 하나만 가능하므로 3×3=9가지다.
두 경우는 마지막 카드가 서로 다르므로 겹치지 않는다. 따라서 전체 경우의 수는
12+9=21
이다. 이 문제에서 0은 첫째 자리에서는 제외되지만 마지막 자리에서는 짝수를 만드는 카드로 포함된다. 자리의 위치에 따라 같은 카드의 역할이 달라진다는 점을 스스로 구분해야 한다.
답안에서 오류 줄을 찾아 마무리하기
검토할 때는 답만 맞는지 보지 않고, 첫째 자리 후보를 적은 줄에 0이 들어갔는지 확인한다. 또한 조건이 추가된 문제에서는 마지막 자리를 먼저 나눈 뒤 각 경우에서 첫째 자리의 0 제외를 다시 적용했는지 살핀다. 학생이 “첫째 자리 4가지”라고 정확히 적고, 마지막 자리가 0일 때와 6일 때를 나누어 12+9=21을 얻는다면 해당 조건을 새로운 문제에서도 적용한 것으로 판단할 수 있다.