신사동 고3수학과외에서 확인한 무한수열의 방향과 극한연산
신사동에서 숭실고등학교에 다니는 고3 학생의 풀이를 점검하던 중, 계산 자체보다 수열이 어느 방향으로 움직이는지를 확인하지 않아 극한의 부호를 잘못 판단한 사례가 나왔다. 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 점검할 때도 답만 고치기보다 처음 조건을 읽은 줄부터 표시하도록 지도했다.
절댓값의 증가와 수열의 발산 방향은 다르다
학생은 다음 수열의 극한을 구하며 마지막에 부호만 바꾸었다.
\[ a_n=-n \]
학생의 오답은 다음과 같다.
\[ |a_n|=n\to+\infty \] 따라서 \[ a_n=-n\to+\infty \]
이 결론은 틀렸다. 절댓값이 커진다는 사실은 수열이 양의 무한대로 가는지 음의 무한대로 가는지를 알려 주지 않는다. 모든 \(n\ge1\)에 대해 \(a_n=-n<0\)이고, \(n\)이 커질수록 값은 \(0\)에서 멀어지며 음수 방향으로 작아진다. 따라서 정확한 결론은
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty} \]
처음 어긋난 줄을 표시하며 다시 계산하기
학생이 풀이를 수정할 때 마지막 부호만 고치지 않도록 다음 네 단계를 기록하게 했다.
- 틀린 줄 표시: \(|a_n|\to+\infty\)에서 \(a_n\to+\infty\)라고 연결한 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: \(n\to\infty\), \(n>0\), \(a_n=-n<0\)을 한 줄씩 적는다.
- 식 수정: \(n\)이 증가할수록 \(a_n\)은 더 작은 음수가 되므로 \(a_n\to-\infty\)로 바꾼다.
- 검산: \(a_{10}=-10,\ a_{100}=-100,\ a_{1000}=-1000\)을 대입해 값이 양수가 아니라 음수 방향으로 커지는지 확인한다.
같은 원리는 유한한 극한연산에서도 조건을 확인해야 한다는 점으로 이어진다. 예를 들어
\[ b_n=2+\frac{3}{n},\qquad c_n=-5+\frac{1}{n} \]
이면 각각 \(b_n\to2\), \(c_n\to-5\)이므로
\[ \lim_{n\to\infty}(b_n+c_n)=2+(-5)=-3 \]
이다. 반면 발산하는 수열에서는 단순히 절댓값이나 항의 크기만 보고 극한연산을 적용할 수 없다. 예를 들어 \(u_n=n\), \(v_n=-n\)은 각각 \(+\infty\), \(-\infty\)로 발산하지만
\[ u_n+v_n=n-n=0 \]
이므로 합은 \(0\)이다. 이는 \(+\infty+(-\infty)\)를 임의로 계산할 수 없는 이유를 보여 준다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 판단을 혼자 점검했다.
\[ d_n=-\frac{3}{2}n+4 \]
\(n\to\infty\)일 때 \(\frac{3}{2}n\to+\infty\)이고, 여기에 음의 부호가 붙으므로
\[ -\frac{3}{2}n\to-\infty. \]
상수 \(4\)는 발산 방향을 바꾸지 않으므로
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\left(-\frac32n+4\right)=-\infty} \]
학생은 \(d_4=-2,\ d_{10}=-11,\ d_{100}=-146\)을 직접 대입해 음수 값의 크기가 커지는 것을 확인했다. 마지막에는 “계수의 부호와 \(n\)의 증가 방향을 먼저 확인하고, 절댓값 증가는 방향과 구분한다”라고 오류 원인을 한 문장으로 남겼다.