신사동고2수학과외

신사동 고2수학과외, 지수를 더하는 순간 생긴 오답

숭실고등학교 과제를 마친 뒤 풀이를 점검하던 중, 다음 식의 계산 줄이 눈에 들어왔다.

(3²)⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶

겉으로는 지수법칙을 적용한 것처럼 보이지만, 여기서 밑 3은 그대로이고 바깥 지수 4가 안쪽의 각 지수에 작용한다. 따라서

(3²)⁴ = 3^2×4 = 3⁸

이다. 실제 값으로 확인하면 왼쪽은 9⁴ = 6561이고, 3⁸도 6561이다. 반면 3⁶ = 729이므로 지수를 더한 계산은 원래 식과 일치하지 않는다.

곱셈과 거듭제곱을 구별하는 계산 줄

지수를 더하는 법칙은 같은 밑을 곱할 때 사용한다.

3²·3⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶

반대로 거듭제곱 전체에 다시 지수가 붙으면

(3²)⁴ = 3^2×4 = 3⁸

처럼 지수를 곱한다. 괄호 안의 식이 곱셈인지, 이미 하나의 거듭제곱인지 먼저 구분해야 한다.

정답을 지우기 전에 오류의 위치를 남기기

이 풀이에서는 틀린 답을 곧바로 지우기보다, “거듭제곱의 거듭제곱인데 지수를 더했다”라고 오류 원인을 한 문장으로 적는다. 그다음 잘못된 단계만 고친다.

(3²)⁴
= 3^2×4
= 3⁸

이렇게 하면 답만 바꾸는 것이 아니라 어떤 법칙을 잘못 선택했는지 확인할 수 있다. 특히 (a^m)ⁿ = a^mn에서 바깥 지수 n이 안쪽 지수 m에 곱해진다는 관계를 계산 줄에 남겨야 한다.

중간 줄이 비어 있을 때 법칙을 복원하는가

다음과 같이 일부 계산을 비워 둔 문항으로 확인한다.

(2³)⁵ = 2^□ = □

괄호가 거듭제곱의 거듭제곱이므로 빈칸에는 먼저 3×5를 써야 한다.

(2³)⁵ = 2^3×5 = 2¹⁵

여기서 3+5를 적었다면 답만 다시 고치는 것이 아니라, ‘같은 밑의 곱’과 ‘거듭제곱의 거듭제곱’을 혼동한 단계부터 찾아야 한다.

밑이 분수로 바뀌어도 지수는 곱하는가

새 조건에서는 밑을 바꾸어 계산한다.

((1/2)²)³ = (1/2)^2×3 = (1/2)⁶ = 1/64

밑이 분수라는 이유로 지수를 더하거나 부호를 임의로 바꾸지 않는다. 괄호 속 거듭제곱에 다시 지수가 붙었는지 확인하고, 중간식에 2×3을 직접 남겼는지가 풀이의 기준이다.

신사동의 귀가 시각과 과제량에 맞춰 짧은 계산이라도 오답 원인과 수정한 줄을 함께 기록하면, 정답만 바꾸던 풀이가 새로운 숫자와 밑에서도 같은 법칙을 적용하는지 확인할 수 있다.