녹번동고2수학과외

녹번동 고2수학과외에서 짚는 로그부등식의 조건 교집합

녹번동 생활권에서는 역촌역 등을 오가는 통학 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 학생마다 달라질 수 있다. 이때 짧은 로그부등식 한 문제를 풀더라도 계산 결과와 정의조건을 따로 적는 습관이 답을 바꾼다. 은평구 내 숭실고등학교, 선정고등학교, 충암고등학교, 동명여자고등학교, 예일여자고등학교 등은 통학권 참고 학교이며, 특정 학교의 출제 경향을 전제로 하지 않고 실제 답안의 계산 줄을 기준으로 확인한다.

x>0과 x≤4는 따로 적는 답이 아니다

다음 부등식을 보자.

log₂x ≤ 2

로그의 진수는 양수여야 하므로 먼저

x>0

을 적는다. 밑 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가한다. 따라서 부등호 방향을 바꾸지 않고

x ≤ 2²=4

를 얻는다. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 해는 합집합이 아니라 교집합이다.

x>0 ∩ x≤4  =  0<x≤4

풀이 중 “x>0, x≤4”라고 나열하는 것만으로는 구간이 완성되지 않는다. 두 조건을 각각 별개의 답처럼 적거나 “x>0 또는 x≤4”로 읽으면 모든 실수를 포함하게 되어 원래 로그식의 정의조건을 잃게 된다.

대입값으로 조건과 계산 결과를 한 줄에서 확인하기

답안에 조건을 분리해 적은 뒤에는 대표값을 넣어 해석을 점검한다. x=-1은 x≤4를 만족하지만 log₂(-1)은 정의되지 않으므로 해가 될 수 없다. 반면 x=3은 0<3≤4이고 log₂3≤2를 만족한다. x=5는 정의조건은 만족하지만 log₂5>2이므로 제외된다.

따라서 “x>0”과 “x≤4”를 별개 목록으로 남긴 답안은 다음처럼 고쳐 쓴다.

정의조건: x>0
계산 결과: x≤4
교집합: 0<x≤4

이 세 줄을 연결하면 정의조건이 계산 결과를 제한하는 과정이 보인다. 특히 로그부등식에서는 밑이 1보다 큰지 작은지를 먼저 확인해야 한다. 이 문제의 밑은 2이므로 증가함수라는 판단이 계산 줄의 근거가 된다.

밑이 1보다 작아질 때 같은 절차를 유지하는가

조건을 바꾼 짧은 문제로 확인한다.

log_1/3x ≥ -1

진수 조건은 여전히 x>0이다. 하지만 밑이 0과 1 사이인 1/3이므로 로그함수는 감소한다. 따라서

x ≤ (1/3)^-1=3

이 되고, 조건과의 교집합은

0<x≤3

이다. x=2를 대입하면 log_1/32는 -1보다 크므로 포함되고, x=4를 대입하면 -1보다 작으므로 제외된다. 밑이 바뀌었을 때도 진수 조건을 먼저 적고, 증가·감소에 따라 부등호를 판단한 뒤, 마지막에 교집합을 만드는 순서가 유지되어야 한다.