녹번동고1수학과외, 수직선 그래프를 x=a 부등식으로 읽는 법
좌표평면에서 경계선이 세로로 그어져 있을 때는 기울기 계산보다 먼저 두 점의 x좌표가 같은지 살펴봐야 한다. 이 판단이 그래프를 부등식 기호로 바꾸는 출발점이다.
기울기 공식으로 처리할 수 없는 두 점
학교 프린트에서 경계선 위의 두 점이 A(4, -2), B(4, 3)으로 주어졌다고 하자. 두 점의 x좌표가 모두 4이므로 이 직선은
x = 4
이다. y좌표가 달라지므로 선은 세로로 뻗는다. 기울기를 계산하면
(3 - (-2)) ÷ (4 - 4) = 5 ÷ 0
이 되어 기울기가 정의되지 않는다. 따라서 이를 기울기 0인 수평선으로 보는 것은 잘못이다. 기울기 0인 직선은 y=b 꼴이고, x좌표가 고정된 수직선은 x=a 꼴이다.
학생의 답안에서 빠진 판단
녹번동에서 통학 후 수행평가와 지필평가를 함께 준비하던 학생은 위 두 점을 보고 기울기 공식을 바로 적용했다. 분모가 0이 되는 것을 확인하지 않은 채 “기울기 0이므로 수평선”이라고 적었고, 다음 줄에서는 그래프의 음영을 다시 살피지 않고 부등식 기호를 골랐다.
이 경우 막힌 지점은 계산 실수 하나가 아니라, 그래프의 선이 어떤 변수의 값을 고정하는지를 읽지 않은 데 있다. x가 4로 고정되므로 선의 왼쪽과 오른쪽을 나누는 경계이며, 위와 아래를 나누는 경계가 아니다.
수직선에서 부등식 기호를 정하는 과정
경계선이 x=4이고 오른쪽 영역이 색칠되어 있다면 색칠된 점 하나를 골라 확인한다. 예를 들어 오른쪽에 있는 점 (6, 1)을 대입하면 x좌표 6이 4보다 크므로 영역의 조건은
x > 4
가 된다. 경계선까지 포함되어 실선으로 표시되었다면
x ≥ 4
이다. 반대로 왼쪽 영역이라면 점 (1, 1)을 이용해 x < 4를 얻으며, 경계 포함 여부에 따라 x ≤ 4로 바뀐다.
- 수직선의 방정식: x=a
- 오른쪽 영역: x>a 또는 x≥a
- 왼쪽 영역: x<a 또는 x≤a
- 경계 포함 여부: 실선이면 포함, 점선이면 제외
답안에 남겨야 할 근거
그래프를 부등식으로 옮길 때는 기호만 쓰지 말고 다음과 같이 짧은 근거를 덧붙인다.
두 점의 x좌표가 모두 4이므로 경계선은 x=4이다. 색칠된 영역은 오른쪽이고 경계선은 점선이므로 x>4이다.
이 문장에는 직선의 종류, 영역의 방향, 경계 포함 여부가 모두 들어 있다. 그래프가 바뀌어도 같은 순서로 판단할 수 있으며, 교과서 문제와 수행평가 서술형 답안 사이의 연결도 분명해진다.
처음 보는 문제에서 필요한 정보만 고르기
새 문제에 “직선 위의 점은 (-3, 2), (-3, 7)이고, 오른쪽 영역이 색칠되었으며 경계는 실선이다. 좌표평면의 눈금은 1칸에 2를 나타낸다”라고 쓰여 있다고 하자. 눈금 정보나 y좌표 2와 7은 직선의 부등식을 정하는 데 필요하지 않다. 두 x좌표가 -3으로 같고, 오른쪽 및 실선이라는 정보만 골라
x ≥ -3
이라고 판단하면 된다. 숫자를 모두 식에 넣는 것이 아니라, 구할 대상인 x의 관계를 결정하는 정보만 추출하는 것이다.
역촌역 방향으로 이동한 뒤 확보되는 시간이 짧은 학생이라면 학교에서 받은 프린트의 한 문제를 위 방식으로 말로 설명하게 하고, 시간이 더 확보되는 학생은 경계선의 방향과 음영 위치를 바꾼 문제까지 이어서 확인할 수 있다. 같은 은평구 통학권의 숭실고등학교, 선정고등학교, 충암고등학교 등은 녹번동 소재 학교가 아니라 참고 가능한 통학 범위로만 구분해 보며, 실제 학습 점검은 학생의 귀가 시간과 학교 일정에 맞춘다.
교사의 질문 없이 다시 판단하는지 확인하기
마지막에는 다음과 같은 처음 보는 문제를 제시한다.
경계선 위의 두 점이 C(5, -1), D(5, 6)이고, 왼쪽 영역이 색칠되어 있으며 경계선은 점선이다. 이때 학생이 y좌표와 눈금 정보를 불필요하게 끌어오지 않고, x좌표의 일치부터 확인하는지 본다.
두 점의 x좌표가 5이므로 경계선은 x=5이다. 왼쪽이고 점선이므로 정답은
x < 5
이다. 학생이 “x좌표가 같으므로 수직선, 왼쪽 영역이므로 작다, 점선이므로 등호 없음”이라고 스스로 근거를 남겼다면 그래프를 부등식으로 바꾸는 절차를 새로운 조건에서도 적용한 것이다.