갈현동중2수학과외, 평행선 선분비에서 대응 위치를 바꾸어 비례식 세우기
평행선과 선분의 길이 단원에서는 길이를 계산하는 능력보다 도형 속에서 서로 대응하는 선분을 찾아내는 과정이 먼저다. 평행선이 여러 개 그어진 삼각형이나 사다리꼴에서 숫자만 보고 비례식을 세우면, 분자와 분모의 위치가 뒤바뀌어도 알아차리지 못하기 쉽다. 갈현동중2수학과외에서는 문제 수를 무작정 늘리기보다 선분의 위치, 평행 여부, 대응 방향을 확인한 뒤 식을 세우는 훈련을 진행한다.
숫자보다 먼저 확인할 것은 평행선과 선분의 위치
예를 들어 삼각형 ABC에서 점 D가 AB 위, 점 E가 AC 위에 있고 DE가 BC와 평행하다고 하자. AB=10, AD=6, AC=15라면 닮은 삼각형의 대응 관계에 따라
AD/AB = AE/AC
이므로 6/10=AE/15, AE=9이다. 여기서 AD와 AB를 비교했다면 AC와 AE를 비교해야 한다. AD와 AC처럼 서로 다른 방향의 선분을 섞어 6/10=15/AE라고 쓰면 계산 자체는 가능해 보여도 도형의 대응 관계가 무너진다.
학생은 보통 문제에 나온 길이를 위에서부터 읽은 순서대로 식에 넣는다. 그러나 평행선이 만든 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응점을 정하지 않으면 같은 숫자가 다른 위치에 등장하는 새 문제에서 풀이가 흔들린다. 이 단원에서 필요한 것은 비례식 암기가 아니라 대응 선분을 일정한 순서로 읽는 습관이다.
갈현동 학생의 실제 풀이 장면
갈현동의 한 중2 학생은 학교 프린트의 사다리꼴 문제에서 평행한 두 변을 찾는 데는 성공했지만, 선분비를 세우는 순간 긴 선분과 짧은 선분을 교차시켰다. 그림에는 AB∥CD인 사다리꼴 ABCD가 있고, 대각선의 교점이 O로 표시되어 있었다. AO=4, OC=6, BO=5가 주어졌을 때 학생은
4/6=5/OD
라고 적어 OD=7.5를 구했다. 이 식은 대각선의 같은 직선 위에서 AO와 OC, BO와 OD를 비교한 것이므로 대응 위치가 맞지 않는다. 실제로 사다리꼴의 양쪽 밑변이 평행할 때 대각선의 교점에서는 AO:OC=BO:OD가 성립하므로 4:6=5:OD, OD=7.5가 맞다. 이 학생의 답은 우연히 맞았지만, 왜 같은 비를 사용했는지 설명하지 못했고 그림의 평행 조건을 지우면 식을 다시 세우지 못했다.
반대로 다른 문제에서 AD∥BC인 사다리꼴의 대각선 관계를 그대로 적용해, 평행선의 방향과 대응점을 확인하지 않고 같은 식을 반복하는 모습도 나타났다. 맞힌 문제라고 바로 복습 목록에서 지우면 이런 근거 누락이 남는다.
비례식을 세우기 전 손으로 고정하는 세 단계
- 먼저 평행한 선분에 같은 표시를 하고, 어느 삼각형이 작은 도형이고 어느 도형이 큰 도형인지 구분한다.
- 대응점을 순서대로 적는다. 예를 들어 △ADE와 △ABC라면 A-D-E와 A-B-C의 순서를 나란히 써서 AD↔AB, AE↔AC, DE↔BC를 표시한다.
- 비의 방향을 하나로 정한다. 작은 도형/큰 도형으로 시작했다면 모든 선분을 같은 방향으로 쓴다.
식에 숫자를 넣기 전에 문자로 AD/AB=AE/AC를 먼저 적게 하는 이유도 여기에 있다. 길이가 주어진 선분만 보고 바로 계산하지 않고, 대응 관계를 쓴 뒤 숫자를 대입해야 한다. 비례식의 양끝과 안쪽을 곱해 계산한 뒤에는 구한 길이가 전체 선분보다 큰지, 작은 도형에 속한 길이인지 도형과 비교한다.
내심과 외심은 이름이 아니라 작도로 확인하기
같은 도형 단원에서 내심과 외심을 함께 다룰 때도 위치를 외워서 표시하지 않도록 한다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 삼각형에서 한 각의 이등분선만 그어 놓고 그 점을 내심이라고 표시하거나, 변의 수직이등분선을 그리지 않고 외심의 위치를 추측하면 근거가 없는 답이 된다.
다만 평행선 선분비 문제를 해결하는 데 내심과 외심을 별도로 길게 섞지는 않는다. 필요한 경우에만 작도 순서를 확인해 도형의 선과 점을 구분한다. 현재 막히는 문제를 위해 중1 도형 전 범위를 다시 시작하지 않고, 대응점 표시와 평행선의 성질처럼 지금 풀이에 필요한 선수 내용만 짧게 확인한다.
새 숫자와 위치로 독립 검증하기
훈련한 뒤에는 같은 프린트 문제를 다시 맞히는 것으로 끝내지 않는다. 먼저 AB=12, AD=8, AC=18, DE∥BC인 새 문제에서 AD/AB=AE/AC를 세워 AE=12를 구하게 한다. 다음에는 작은 삼각형이 위가 아니라 도형의 아래쪽에 오도록 그림의 방향을 바꾸고, 주어진 길이의 순서도 바꾼다.
이때 학생은 평행 표시를 찾고, 대응점을 문자로 적고, 작은 도형/큰 도형의 비를 정한 뒤 식을 작성해야 한다. 마지막에는 “왜 이 두 선분을 대응시켰는가”를 한 문장으로 설명한다. 내심과 외심 문제는 내각 이등분선 또는 수직이등분선을 직접 그린 뒤 교점을 표시하게 하여, 점의 위치만 보고 답한 것이 아닌지 확인한다.
갈현동의 생활 리듬에 맞춘 학습 설계
갈현동에는 대성중학교, 선일여자중학교, 선정중학교가 있으며, 같은 은평구의 구산중학교와 덕산중학교는 참고 학교로 구분해 볼 수 있다. 학교별 시험 난도나 출제 경향을 단정하기보다 학생이 어느 학교에 다니는지, 갈현동미미아파트 등 주거지에서 귀가하는 시간과 자습 가능 시간이 어떤지 살펴 학습량을 조절한다.
귀가가 늦은 날에는 새 문제를 많이 풀기보다 도형 한 장에서 평행선 표시와 대응점만 정리한다. 시간이 충분한 날에는 숫자와 도형 방향을 바꾼 문제를 제한 시간 안에 풀고, 식을 세운 근거까지 말하게 한다. 갈현동중2수학과외는 학생의 풀이 속도를 친구와 비교하기보다, 맞힌 문제에서도 대응 관계를 설명할 수 있는지를 기준으로 다음 학습을 정한다.
자주 묻는 질문
비례식의 답이 맞으면 풀이도 맞는 것인가요?
그렇지 않다. 대응 선분의 근거가 없으면 숫자가 우연히 맞았을 수 있으므로 문자식과 평행 조건을 함께 확인해야 한다.
내심과 외심을 모두 매번 작도해야 하나요?
처음에는 직접 작도하는 것이 좋다. 내심은 각의 이등분선, 외심은 수직이등분선의 교점이라는 정의를 그림으로 확인한 뒤 점차 간단히 표시할 수 있다.
평행선 선분비에서 가장 먼저 고칠 행동은 무엇인가요?
숫자를 바로 식에 넣는 행동을 멈추고, 대응점을 나란히 적은 뒤 작은 도형/큰 도형의 비 방향을 고정하는 것이다.